SOAL PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIPATNYA

Soal Pertidaksamaan Eksponen

1.) Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^2x - 6.5^x+1 + 125 > 0, x ∈ R adalah ...
A.   1 < x < 2
B.   5 < x < 25
C.   x < -1  atau  x > 2
D.   x < 1  atau  x > 2
E.   x < 5  atau  x > 25

Pembahasan :
5^2x  -  6.5^x+1  +  125  >  0
(5^x)²  -  6.5^x.5¹  +  125  >  0
(5^x)²  -  30(5^x)  +  125  >  0

Misalkan y = 5^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 30y + 125 > 0

Pembuat nol :
y² - 30y + 125 = 0
(y - 5)(y - 25) = 0
y = 5  atau  y = 25

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 5  atau  y > 25

Karena y = 5^x, maka penyelesaiannya menjadi
5^x < 5  atau  5^x > 25
5^x < 5¹  atau  5^x > 5²
x < 1  atau  x > 2

Jawaban : D

2.) Himpunan penyelesaian dari 3^2x - 6.3^x < 27 adalah ...
A.   {x / x < -3, x ∈ R}
B.   {x / x < -2, x ∈ R}
C.   {x / x < 2, x ∈ R}
D.   {x / x > 2, x ∈ R}
E.   {x / x > 3, x ∈ R}

Pembahasan :
3^2x  -  6.3^x  <  27
(3^x)²  -  6(3^x)  -  27  <  0

Misalkan y = 3^x, pertidaksamaan diatas menjadi
y² - 6y - 27 < 0

Pembuat nol :
y² - 6y - 27 = 0
(y + 3)(y - 9) = 0
y = -3  atau y = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
-3 < y < 9

atau dapat pula ditulis
y > -3  dan  y < 9

Karena y = 3^x, maka
3^x > -3  dan  3^x < 9
3^x > -3  dan  3^x < 3²
x ∈ R    dan  x < 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{x ∈ R  dan  x < 2} = {x < 2}

Jawaban : C

3.) Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3.4^x - 7.2^x + 2 > 0 adalah ...
A.   x < -1  atau x > ²log 3
B.   x < ²log 1/3  atau  x > 1
C.   ²log 1/3 < x < 1
D.   x < 1  atau  x > ²log 1/3
E.   1 < x < ²log 1/3

Pembahasan :
3.4^x  -  7.2^x  +  2  >  0
3(2^x)²  -  7(2^x)  +  2  >  0

Misalkan y = 2^x, pertidaksamaan diatas menjadi
3y² - 7y + 2 > 0

Pembuat nol :
3y²  - 7y + 2 = 0
(3y - 1)(y - 2) = 0
y = 1/3  atau  y = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
y < 1/3  atau  y > 2

Karena y = 2^x, maka
2^x < 1/3             atau  2^x > 2
$2^x$ < $2^{{}^{2}log1/3}$  atau  2^x > 2¹
x < ²log 1/3   atau  x > 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah
x < ²log 1/3  atau  x > 1

Jawaban : B

4.) Penyelesaian dari 5^-2x+2 + 74 . 5^-x - 3 ≥ 0 adalah ...
A.   x ≤ -3  atau  x ≥ 1/25
B.   -3 ≤ x ≤ 1/25
C.   x ≤ 2
D.   x ≥ 2
E.   x ≥ -2

Pembahasan :
5^-2x+2  +  74 . 5^-x  -  3 ≥ 0
5^-2x . 5²  +  74 . 5^-x  -  3 ≥ 0
25(5^-x)²  +  74(5^-x)  -  3  ≥  0

Misalkan y = 5^-x, pertidaksamaan diatas menjadi
25y² + 74y - 3 ≥ 0

Pembuat nol :
25y² + 74y - 3 = 0
(y + 3)(25y - 1) = 0
y = -3  atau  y = 1/25

Dengan uji garis bilangan diperoleh :
y ≤ -3  atau y ≥ 1/25

Karena y = 5^-x, maka
5^-x ≤ -3  ⟶  tidak mempunyai penyelesaian
5^-x ≥ 1/25  ⇔  5^-x ≥ 5^-2  ⇔  -x  ≥ -2  ⇔  x ≤ 2

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 2

Jawaban : C

5.) Himpunan penyelesaian dari 2^2x − 7 ∙ 2^x > 8 adalah ….

A.   {x│x < −1, x ∈ R}
B.   {x│x < −2, x ∈ R}
C.   {x│x > 3, x ∈ R}
D.   {x│x > 4, x ∈ R}
E.   {x│x > 8, x ∈ R}

Pembahasan :

Misalkan p = 2^x sehingga 2^2x = p².

   2^2x − 7 ∙ 2^x > 8
   p² − 7p − 8 > 0
(p + 1)(p − 8) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −1 atau di sebelah kanan 8.

 p < −1    atau    p > 8
2^x < −1    atau   2^x > 8

Penyelesaian 2^x < −1 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sehingga kita tinggal menyelesaikan 2^x > 8.

2^x > 8
2^x > 2³
  x > 3

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen tersebut adalah opsi (C).

6.) Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3^2x+1 + 9 − 28 ∙ 3^x > 0, x ∈ R adalah ….

A.   x > −1 atau x > 2
B.   x < −1 atau x < 2
C.   x < 1 atau x > 2
D.   x < −1 atau x > 2
E.   x > −1 atau x < −2

Pembahasan :

Langkah pertama, kita pecah bilangan berpangkat 3^2x+1 menjadi 3^2x ∙ 3¹.

   3^2x+1 + 9 − 28 ∙ 3^x > 0
3^2x ∙ 3¹ + 9 − 28 ∙ 3^x > 0

Misalkan p = 3^x kemudian kita urutkan sehingga menjadi:

 3p² − 28p + 9 > 0
(3p − 1)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri 1/3 atau di sebelah kanan 9.

 p < 1/3    atau    p > 9
3^x < 3⁻¹   atau   3^x > 3²
  x < −1    atau     x > 2

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (D).

7.) Himpunan penyelesaian dari 9^x − 54 > 3^x+1 adalah ….

A.   {x│x > 9, x ∈ R}
B.   {x│x < −3, x ∈ R}
C.   {x│x > 4, x ∈ R}
D.   {x│x < −6, x ∈ R}
E.   {x│x > 2, x ∈ R}

Pembahasan :

Langkah pertama kita pindah ruas sehingga ruas kanan menjadi nol

9^x − 3^x+1 − 54 > 0

Selanjutnya pangkat dari 3 kita pecah dengan rumus a^m+n = a^m ∙ aⁿ.

9^x − 3^x . 3¹ − 54 > 0

Misalkan p = 3^x sehingga 9^x = p².

 p² − 3p − 54 > 0
(p + 6)(p − 9) > 0

Karena tanda pertidaksamaannya ‘>’ maka penyelesaiannya berada di sebelah kiri −6 atau di sebelah kanan 9.

 p < −6   atau    p > 9
3^x < −6   atau   3^x > 9

Penyelesaian 3^x < −6 tidak memenuhi karena hasil perpangkatan tidak mungkin negatif. Sekarang kita lanjutkan untuk 3^x > 9.

3^x > 9
3^x > 3²
  x > 2

Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan eksponen di atas adalah opsi (E).

8.) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen $\begin{array}{c}{9}^{2x-4}\ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\end{array}$ adalah ...
A.   {x / -2 ≤ x ≤ 10/3}
B.   {x / -10/3 ≤ x ≤ 2}
C.   {x / x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2}
D.   {x / x ≤ -2  atau  x ≥ 10/3}
E.   {x / -10/3 ≤ x ≤ -2}

Pembahasan :
$\begin{array}{cc}{9}^{2x-4}& \ge {\left(\frac{1}{27}\right)}^{x^2-4}\\ {\left(3^2\right)}^{2x-4}& \ge {\left(3^{-3}\right)}^{x^2-4}\\ 3^{2(2x-4)}& \ge 3^{-3(x^2-4)}\\ 2(2x-4)& \ge -3(x^2-4)\\ 4x-8& \ge -3x^2+12\\ 3x^2+4x-20& \ge 0\end{array}$

Pembuat nol :
3x² + 4x - 20 = 0
(3x + 10)(x - 2) = 0
x = -10/3  atau  x = 2

Dengan uji garis bilangan diperoleh
x ≤ -10/3  atau  x ≥ 2

Jawaban : C

9.) Himpunan penyelesaian  , x ∊ R adalah ...

a.    {x∣-1<x<2}
b.    {x∣-2<x<1}
c.    {x∣x<-1 atau x>2}
d.    {x∣x<-2 atau x>1}
e.    {x∣x<0 atau x>1}

Pembahasan:


Misal:  maka:

     (2p – 1) (p – 4) > 0
     p = ½ dan p = 4
untuk p = ½, maka 
untuk p = 4, maka , x = 2

HP = {x∣x<-1 atau x>2}

Jawaban: C

10.) Himpunan penyelesaian pertidaksamaan  adalah ...
a.    {p∣p< -2- √7  atau p> -2+ √7}
b.    {p∣p<1 atau p>3}
c.    {p∣ -2- √7< p< -2+ √7}
d.    {p∣ 1< p< 3}
e.    {p∣-3< p< -1}
Pembahasan:



      -√7 < p + 2 < √7
     -2 -√7 < p < -2 +  √7
Jawaban: C

11.)    Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  adalah ...
a.    x ≥ -3/2
b.    x ≥ -1
c.    x ≥ 0
d.    x ≥ 1/2
e.    x ≥ 1

Pembahasan:


     2x + 2 ≥ -2x – 2
     4x ≥ -4
     x ≥ -1

Jawaban: B

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 26

Data Artikel :

• Judul : Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma, Pembahasan Soal Un Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen, Contoh soal dan Pembahasan tentang Eksponen SMA
• Penulis : Kak Ajaz, Zero Maker, Widi 
• Tanggal tayang : 9 Oktober 2019, 23 Februari 2018, 18 Januari 2017
• Tanggal akses : 21 Oktober 2020, pukul 07.20
• URL : https://kakajaz.blogspot.com/2017/10/pembahasan-pertidaksamaan-eksponen-logaritma.html, https://smatika.blogspot.com/2018/02/pembahasan-soal-un-persamaan-dan.html, https://www.ajarhitung.com/2017/01/contoh-soal-dan-pembahasan-tentang_18.html