SOAL PERSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

1.) Penyelesaian dari 

${}^2\log (2x-5)=4$ adalah $x=\cdots \cdot$
A. $5\frac{1}{2}$                       D. $10\frac{1}{4}$
B. $7\frac{1}{2}$                       E. $10\frac{1}{2}$
C. $8\frac{1}{2}$

Diketahui ${}^2\log \left(2x-5\right)=4.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}2x-5& =2^4\\ 2x-5& =16\\ 2x& =16+5\\ 2x& =21\\ x& =\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}\end{array}$$Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=10\frac{1}{2}$
Jawaban : E

2.) Penyelesaian dari ${}^4\log (3x-1)=2$ adalah $x=\cdots \cdot$
A. $5\frac{1}{3}$                      D. $7\frac{2}{3}$
B. $5\frac{2}{3}$                      E. $9\frac{1}{3}$
C. $7\frac{1}{3}$

Diketahui ${}^4\log \left(3x-1\right)=2.$
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}3x-1& =4^2\\ 3x-1& =16\\ 3x& =16+1\\ 3x& =17\\ x& =\frac{17}{3}=5\frac{2}{3}\end{array}$$Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=5\frac{2}{3}$
Jawaban : B

3.) Jumlah akar-akar dari persamaan $\log (x^2-1)=\log 8$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-6$                    C. $0$                     E. $6$
B. $-3$                    D. $3$

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{cc}\log (x^2-1)& =\log 8\\ x^2-1& =8\\ x^2-9& =0\\ (x+3)(x-3)& =0\\ x_1=-3\text{atau}{x}_2& =3\end{array}$$Jadi, jumlah akar-akar dari persamaan logaritma tersebut adalah $x_1+x_2=(-3)+3=0$
(Jawaban C)

4.) Penyelesaian dari persamaan ${}^x\log (4x+12)=2$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=-6$                 D. $x=6$
B. $x=-2$                 E. $x=-2$ atau $x=6$
C. $x=2$

Diketahui ${}^x\log (4x+12)=2$.
Dengan mengubah bentuk logaritma di atas menjadi bentuk pangkat, kita akan memperoleh
$$\begin{array}{cc}{x}^2& =4x+12\\ x^2-4x-12& =0\\ (x-6)(x+2)& =0\\ x=6\text{atau}x& =-2\end{array}$$Cek syarat bahwa numerus harus positif dan tidak sama dengan $1$. Perhatikan bahwa substitusi $x=-2$ membuat numerus bertanda negatif, sehingga penyelesaian ini ditolak.
Jadi, penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah $x=6$
Jawaban : D

5.) Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^2\log 2x+{}^3\log 3x={}^4\log 4x^2$, maka ${}^a\log 3=\cdots \cdot$
A. $-3$                    C. $-1$                   E. $2$
B. $-2$                    D. $1$

Diketahui ${}^2\log 2x+{}^3\log 3x={}^4\log 4x^2.$
Persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi
$$\begin{array}{cc}{}^2\log 2x+{(}^3\log 3+{}^3\log x)& ={}^4\log (2x{)}^2\\ {}^2\log 2x+(1+{}^3\log x)& ={}^2\log 2x\\ 1+{}^3\log x& =0\\ {}^3\log x& =-1\\ x& =3^{-1}\end{array}$$Jadi, nilai $a=3^{-1}$, sehingga ${}^a\log 3={}^{3^{-1}}\log 3=-1$
Jawaban : C

6.) Jika ${}^4\log {}^4\log x{-}^4\log {}^4\log {}^4\log 16=2$, maka $x=\cdots \cdot$
A. $4^2$                  C. $4^8$                 E. $4^{32}$
B. $4^4$                  D. $4^{16}$

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{cc}{}^4\log {}^4\log x-{}^4\log {}^4\log {}^4\log 16& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^4\log {}^4\log 2& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^4\log \frac{1}{2}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x-{}^{2^2}\log 2^{-1}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x+\frac{1}{2}& =2\\ {}^4\log {}^4\log x& =\frac{3}{2}\\ {}^4\log x& =4^{\frac{3}{2}}=(2^2{)}^{\frac{3}{2}}=8\\ x=4^8& \end{array}$$Jadi, nilai dari $x$ adalah $x=4^8$
Jawaban : C

7.) Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{x^{\log 15x}}{27x^{\log 5x}}=9$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1.000$                     D. $\mathrm{1.000.000}$
B. $10.000$                   E. $\mathrm{10.000.000}$
C. $100.000$

$$Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{array}{cc}\frac{x^{\log 15x}}{27x^{\log 5x}}& =9\\ \frac{1}{27}\times \frac{x^{\log 15x}}{x^{\log 5x}}& =9\\ x^{\log 15x-\log 5x}& =9\times 27\\ x^{\log \frac{15x}{5x}}& =3^2\times 3^3\\ x^{\log 3}& =3^5\end{array}$
Berdasarkan hubungan pangkat dan logaritma, bentuk terakhir dapat ditulis $\begin{array}{cc}{}^x\log 3^5& =\log 3\\ {}^x\log 3^5& {=}^{{10}^5}\log 3^5\\ x& ={10}^5=100.000\end{array}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x=100.000$
Jawaban : C

8.) Hasil kali semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{x^2}{10.000}=\frac{10.000}{x^{2{(}^{10}\log x)-8}}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $100$                      D. $100.000$
B. $1.000$                   E. $\mathrm{1.000.000}$
C. $10.000$

Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen dan logaritma, kita peroleh
$$\begin{array}{cccc}\frac{x^2}{10.000}& =\frac{10.000}{x^{2{(}^{10}\log x)-8}}& & \\ x^{2+2\log x-8}& =10.000\cdot 10.000& & \\ x^{2\log x-6}& ={10}^8& & \\ (x^{\log x-3}{)}^2& =({10}^4{)}^2& & \\ x^{\log x-3}& ={10}^4& & \\ \text{Tarik logarit}\text{ma di}& \text{kedua ruas}& & \\ \log x^{\log x-3}& =\log {10}^4& & \\ (\log x-3)\left(\log x\right)& =4& & \\ {\log }^{2}x-3\log x-4& =0& & \\ (\log x-4)(\log x+1)& =0& & \left(\text{Difaktorkan}\right)\\ \log x=4\text{atau}& \log x=-1& & \end{array}$$Dengan demikian, didapat
$$\begin{array}{cc}\log x=4& \Rightarrow x_1={10}^4\\ \log x=-1& \Rightarrow x_2={10}^{-1}\end{array}$$Jadi, hasil kali semua nilai $x$ dari persamaan logaritma tersebut adalah$$x_1{x}_2={10}^4\cdot {10}^{-1}={10}^3=1.000$$Jawaban : B

9.) Jika $6\left(3^{40}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)=3^{43}$, maka nilai $a=\cdots \cdot$
A. $2$                    C. $8$                  E. $16$
B. $3$                    D. $9$

$$

Dengan menggunakan sifat pangkat dan logaritma, diperoleh
$\begin{array}{cc}6\left(3^{40}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)& =3^{43}\\ 2.3\left(3^{40}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)& =3^{41}\cdot 3^2\\ 2\left(3^{41}\right){(}^2\log a)+3^{41}{(}^2\log a)& =3^{41}\cdot 9\\ 2{(}^2\log a)+{}^2\log a& =9\\ 3{(}^2\log a)& =9\\ {}^2\log a& =\frac{9}{3}=3\\ a& =2^3=8\end{array}$
Jadi, nilai $a$ adalah $8$
(Jawaban C)

10.) Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1}={24}^{x-1}$ adalah $a{\cdot }^3\log 2+b$ dengan $a,b$ bilangan bulat positif. Nilai dari $a+b=\cdots \cdot$
A. $3$                     C. $6$                   E. $9$
B. $5$                     D. $7$

$$

Persamaan berpangkat tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara standar karena $8$ dan $24$ tidak memiliki basis pangkat yang sama.
Logaritmakan kedua ruas, kemudian gunakan sifat-sifat logaritma untuk mencari nilai $x$ sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc}{8}^{x+1}& ={24}^{x-1}\\ \log 8^{x+1}& =\log {24}^{x-1}\\ (x+1)\log 8& =(x-1)\log 24\\ x\log 8+\log 8& =x\log 24-\log 24\\ x\log 8-x\log 24& =-\log 24-\log 8\\ x(\log 8-\log 24)& =-\log 24-\log 8\\ x& =\frac{-\log 24-\log 8}{\log 8-\log 24}=\frac{\log 24+\log 8}{\log 24-\log 8}\\ x& =\frac{\log (8\times 3)+\log 8}{\log \frac{24}{8}}\\ x& =\frac{\log 8+\log 3+\log 8}{\log 3}\\ x& =\frac{2\log 8+\log 3}{\log 3}\\ x& =\frac{2\log 2^3+\log 3}{\log 3}\\ x& =\frac{6\log 2+\log 3}{\log 3}\\ x& =\frac{6\log 2}{\log 3}+\frac{\log 3}{\log 3}\\ x& =6\cdot {}^3\log 2+1\end{array}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan berpangkat di atas adalah $x=6\cdot {}^3\log 2+1$, sehingga $a=6$ dan $b=1$, dan itu artinya, $a+b=6+1=7$
Jawaban : D

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 26

Data Artikel :

• Judul : Materi, Soal, Pembahasan - Persamaan Logaritma
• Penulis : Sukardi
• Tanggal tayang : 22 Agustus 2020
• Tanggal akses : 21 Oktober 2020, pukul 19.00
• URL : https://mathcyber1997.com/materi-soal-dan-pembahasan-persamaan-logaritma/