PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

Oktober 20, 2020

PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan dari bilangan eksponen dengan pangkat yang memuat sebuah fungsi, atau persamaan perpangkatan yang bilangan pangkatnya mengandung variabel sebagai bilangan peubah.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

PE bentuk $a^{f(x)} = a^p$

Jika $a>0$ dan $a\ne 1$ , maka f(x) = p.

Contoh :

$2^{3x} = 2^6$

maka :

$3x = 6$

$x=2$

PE bentuk $a^{f(x)} = a^{g(x)}$

Jika a>0 dan a≠ 1, maka $f(x) = g(x)$

Contoh :

$2^{3x+1} = 2^{2x+3}$

maka :

$3x+1 = 2x+3$

$x = 2$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{f(x)}$

Jika $a>0$ , $a\ne 1$ , $b>0$ , $b \ne 1$ , dan $a\ne b$ , maka $f(x)$ = 0

Contoh :

$2^{3x+1} = 5^{3x+1}$

maka :

$3x + 1 = 0$

$x = -\frac{1}{3}$

PE bentuk $a^{f(x)} = b^{g(x)}$

Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas

Contoh :

$2^{3x+1} = 10^{3x}$

maka :

$\log 2^{3x+1} = \log 10^{3x}$

$(3x+1)\log 2 = (3x)$

$3x \log 2 + \log 2 = 3x$

$\log 2 = 3x (1 - \log 2)$

$x = \frac{\log 2}{3(1 - \log 2)}$

PE bentuk $(h(x))^{f(x)} = (h(x))^{g(x)}$

Kemungkinan yang bisa terjadi adalah :

$f(x) = g(x)$

Contoh :

$(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$

mungkin :

$(3x+1) = (2x+3)$

$x =2$

$h(x) = 1$

Contoh :

$(3x+2)^{(3x+1)} = (3x+2)^{(2x+3)}$

mungkin :

$(3x+2) = 1$

$x = -\frac{1}{3}$

$h(x) = 0$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya positif

Contoh :

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

mungkin :

$(3x+2) = 0$

$x = -\frac{2}{3}$

$h(x) = -1$ asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh :

$(3x+2)^5 = (3x+2)^7$

mungkin :

$(3x+ 2) = -1$

$x=-1$

Sifat – Sifat Persamaan Eksponen Berdasarkan Pangkatnya

Sifat – sifat persamaan eksponen sederhana banyak sifatnya, berikut ini sifat – sifat persamaan eksponen berdasarkan pangkatnya adalah :

am. an = am+n
am/an = am-n
(am)n = am.n
(ab)m = am. bm
(a/b)m = am/bm

2. Pangkat Nol

a0 = 1, dengan syarat a ≠ 0

3. Pangkat Bulat Negatif ( n positif )

a-n = 1/an , atau 1/a-n = an

4. Pangkat Bilangan Pecahan

a1/n = n√a
am/n = n√am = ( n√a)m

Jenis – Jenis Persamaan Eksponen

Berikut ini jenis eksponen yang persamaannya memuat peubah adalah :

4x – 2x – 6 = 0
23x-2 = 128

Jika a > 0 ; a ≠ 1 dan ap = aq maka p = q

Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan

23x-2 = 128
5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
42x – 18x + 4 = 0

Jawab :

23x-2 = 128
23x-2 = 27
3x – 2 = 7
3x = 9
x = 3
5×2 + 6x – 42 = 3125 12 – x
5×2 + 6x – 42 = 55(12 – x)
x2 + 6x – 42 = 5(12 – x)
x2 + 6x – 42 = 60 – 5x
x2 + 11x – 102 = 0
(x + 17)(x – 6) = 0
x = -17 atau x = 6
42x – 18x + 4 = 0
2.22x – 9.2 x + 4 = 0
2.(2x)2 – 9.2x + 4 = 0
2a2 – 9a + 4 = 0
(2a – 1)(a – 4) = 0
a = ½ atau a = 4

Untuk a = ½
2x = ½
2x = 2-1
x = -1

Untuk a = 4
2x = 4
2x = 22
x = 2

Jadi Hp = {-1, 2}

Jika af(x) = b f(x) maka f(x) = 0
dengan (a > 0 ; b > 0 ; a ≠ 1; b ≠ 1)

Contoh :

Carilah semua x yang memenuhi 25.5 2x – 5 = 3 2x – 3

Jawab :

25.52x – 5 = 3 2x – 3
52. 52x – 5 = 3 2x – 3
52x – 5 +2 = 3 2x – 3
52x – 3 = 32x – 3
2x – 3 = 0
2x = 3
x = 3/2

Jika h(x) = 0, maka haruslah f(x) > 0 dan g(x) > 0 karena nol berpangkat nol atau berpangkat negatif tidak didefinisikan.
Jika h(x) ≠ 0 maka (h(x))g(x) ≠ 0. Maka kita dapat juga membagi kedua ruas dengan (h(x))g(x) sehingga menjadi:
(h(x))f(x) : (h(x))g(x) = (h(x))g(x) : (h(x))g(x)
(h(x))f(x) – g(x) = 1
Jika h(x) = 1 maka f(x) dan g(x) tidak juuga memberikan syarat apapun sebab satu berpangkat sembarang itu bilangan terdefinisi dan hasilnya satu.
Jika h(x) = -1 maka f(x) – g(x) haruslah genap sebab -1 berpangkat ganjil hasilnya bukan satu. f(x) – g(x) genap sama artinya dengan f(x) dan g(x) keduanya genap atau keduanya ganjil
Jika h(x) ≠ 1 maka haruslah f(x) = g(x)

Penyelesaian persamaan tersebut (h(x))f(x) = (h(x))g(x) adalah semua x yang sudah memenuhi persamaan:

h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
h(x) = 1
h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1 dan f(x) = g(x)

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 5)x2 – 4 = (x – 5)2 – x)

Jawab :

h(x) = 0 ⟺ x – 5 = 0 ⟺ x = 5
Syarat x2 – 4 > 0 dan 2 – x > 0

Substitusikan x – 5
52 – 4 > 0 dan 2 – 5 > 0 (tidak memenuhi)
Ini berarti x = 5 bukan himpunan penyelesaian.

h(x) = 1 ⟺ x – 5 = 1 ⟺ x = 6

Tidak memerlukan syarat sehingga x = 6 merupakan himpunan penyelesaian.

h(x) = -1 ⟺ x – 5 = -1 ⟺ x = 4

Substitusikan x = 4 pada f(x) dan g(x)
42 – 4 = genap dan 2 – 4 = genap
Karena keduanya genap maka x – 4 merupakan himpunan penyelesaian.

f(x) = g(x) ⟺ x2 – 4 = 2 – x
⟺ x2 + x – 6 = 0
⟺ (x + 3)(x – 2) = 0
⟺ x = -3 atau x = 2

Setelah itu disubstitusikan x = -3 atau x = 2 ke dalam h(x) diperoleh h(x) ≠ 0 : h(x) ≠ 1
Ini berarti x = -3 atau x = 2 merupakan himpunan penyelesaian.

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan di atas adalah = {-3, 2, 4, 6}

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 26

Data Artikel :

Judul : Persamaan Eksponen dan Pertidaksamaan Eksponen, Persamaan Eksponen - Pengertian, Rumus, Sifat, Contoh Soal
Penulis : studio belajar, Azzahra Rahmah
Tanggal tayang : -, 21 November 2019
Tanggal akses : 21 Oktober 2020, pukul 05.00
URL : https://www.studiobelajar.com/persamaan-pertidaksamaan-eksponen/, https://rumus.co.id/persamaan-eksponen/#:~:text=Persamaan%20eksponen%20yaitu%20sebuah%20persamaan,Bulat%20a%20m%20x%20a%20n%20%3D%20a%20m%20%2B%20n.

Cari Blog Ini

Mustika Aura Nabila