MASALAH KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN VEKTOR

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 27

Masalah Kontekstual yang Berhubungan dengan Vektor

Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga dengan menggunakan langkah-langkah atau prosedur penyelesaian masalah 

Penerapan Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari atau Bersifat Kontekstual

1.    Disaat penerjun menjatuhkan diri dari pesawat, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.

2.    Ketika perahu menyebrangi sebuah sungai, maka kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air.

3.    Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut.

4.    Pesawat terbang yang ingin terbang dan mendarat menggunakan metode vektor, sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebawah, tapi melalui arah vektor yang disesuaikan. Dengan demikian orang-orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh atau terombang-ambing.

5.    Konsep vektor juga diaplikasikan terhadap orang yang sedang bermain layang-layang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor.

6.    Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya vektor, sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.

7.   Seorang pilot pada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang dihubungkan dengan cara vektor, sehingga seorang pilot yang mengemudi tidak salah arah atau berpindah di tempat yang tidak diinginkan.

8.  Ketika Upacara bendera dihari senin, pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas. Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat.

9.  Pada saat seorang melakukan olahraga tersebut, mereka akan terjun dengan kemiringan tertentu hingga menginjak tanah.

10. Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin.

Contoh Soal

1.) Jika a = i – 2j + k, b = 2i – 2j – 3k dan c = -i + j + 2k, maka 2a – 3b – 5 c sama dengan:

A. i + j + k

B. 2i – 5j + k

C. 5i – 2j + k

D. 5i + 2j + k

E. i – 2 j – k

Jawaban : A

Pembahasan :

2a – 3b – 5 c = 2 (i – 2j + k) -3(2i – 2j – 3k) – 5(-i + j + 2k)

2a – 3b – 5c = 2i – 4j + 2k – 6i + 6j + 9k + 5i – 5j – 10k = i + j + k

2.) Misalkan D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3). Panjang vektor posisi d sama dengan:

A. 3

B. 5

C. √5

D. √14

E. √13

Jawaban : D

Pembahasan :

Agar dapat menjawab soal ini, hal pertama yang harus kamu lakukan ialah mencari titik D terlebih dahulu. Titik D merupakan titik berat segitiga dalam soal tersebut. Maka, D= 1/3 (A + B + C).

Dari temuan rumus itu, kamu tinggal memasukkan nilai dari masing-masing titik A, B, dan C. Berikut cara menghitungnya:

D = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3)

D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1)

Setelah menemukan titik D, hitungan yang harus kamu lakukan selanjutnya ialah panjang proyeksi titik D.

Berikut cara penghitungannya:

3.) Diketahui dua vektor u = 4i – mj + 2 k dan v = 5i + 2j – 4k saling tegak lurus. Maka harga m adalah:

A. 10

B. 6

C. 5

D. 9

E. 1

Jawaban : 6

Pembahasan :

Merujuk pada soal tersebut, vektor u dan v saling tegak lurus maka rumusnya sama seperti: u.v = 0. Dengan begitu, untuk mencari harga m, maka rumus tersebutlah yang digunakan dengan memasukkan persamaan yang telah diketahui. Hitungannya menjadi seperti berikut:

u . v = 0

(4i – mj + 2k) (5i + 2j – 4k) = 20 – 2m – 8 = 0

m = 6

4.) Diketahui A (1,2,3), B(3,3,1) dan C(7,5,-3). Jika A, B, dan C segaris, perbandingan AB : BC =…

A. 5 : 2

B. 2 : 1

C. 1 : 2

D. 5 : 7

E. 7 : 3

Jawaban : C

Pembahasan :

AB = B – A = (3,3,1) – (1,2,3) = (2,1,-2)

Besar AB = √22 + 12 + (-2)2 = 3

BC = C – B = (7,5,-3) – (3,3,1) = (4,2,-4)

Besar BC = √42 + 22 + (-4)2 = 6

Dari hasil hitungan tersebut maka perbandingan AB : BC = 3 : 6 = 1 : 2

5.) Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah:

A. Π

B. 0

C. 1/4 π

D. 1/2 π

E. 3/4 π

Jawaban : D

Pembahasan :

u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k

v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j

Setelah itu, barulah mencari besar sudut u dan v dengan menggunakan rumus berikut:

cos α= u.v|u||v|

cos α= (2i + 3j – 6k)(- 3i + 2j) 22+ 32+(– 62)(-3)2+22+02

cos α= -6+6+049 12 = 0712=0

Dari hasil hitungan tersebut, sudut dengan nilai cosinus nol adalah 900 atau sama dengan 1/2 π

6.) Kota D terletak di antara kota A(2, 3) dan B(7, 8) dengan perbandingan AD : DB = 2 : 3. Hitung waktu tempuh sebuah sepeda yang berangkat dari kota C(-1, -2) menuju kota D dengan kecepatan 2,5 m/s. Semua satuan jarak dalam meter.

A. 6 detik

B. 5 detik

C. 10 detik

D. 4 detik

E. 2 detik

Jawaban : D

Pembahasan :

siapkan koordinat titik D

Koordinat titik D adalah (5, 6).

hitung panjang vektor CD

CD = OD - OC

Vektor CD = 6i + 8j (meter)

Panjang vektor CD adalah 

Final step: hitung waktu tempuh

Jadi waktu tempuh sepeda dari kota C ke kota D adalah 4 detik.

7.) Sebuah granat bermassa m yang bergerak dengan vektor kecepatan v = 10i + 18j + 19k tiba-tiba meledak. Pecahan granat terbagi tiga dengan massa 0,2m, 0,5m, dan sisanya 0,3 m. Kecepatan berturut-turut v₁ = -20i + 10j - 30k, v₂ = 30i - 10j - 20k, dan v₃ = xi + yj + zk. Tentukan v₃! (dalam m/s)

A. 3¹/₃i + 70j + 116²/₃k (dalam m/s).

B. 4¼i + 46j + 60½k (dalam m/s)

C. 2¾i + 65j + 120⅙k (dalam m/s)

D. 8⅜i + 48j + 118⅓k (dalam m/s)

E. 6⅔i + 52j + 125↉k (dalam m/s)

Jawaban : A

Pembahasan :

Persoalan momentum dengan jenis tumbukan tak elastis.

Diketahui :

Massa granat sebelum meledak sebagai m.

Vektor kecepatan sebelum meledak v = 10i + 18j + 19k

Massa granat sesudah meledak, m₁ = 0,2m, m₂ = 0,5m dan m₃ = 0,3m.

Kecepatan pecahan granat, v₁ = -20i + 10j - 30k, v₂ = 30i - 10j - 20k, dan v₃ = xi + yj + zk.

Ditanya

Vektor kecepatan v₃

Penyelesaian

Persamaan dari hukum kekekalan momentum dengan jenis tumbukan tak elastis adalah:

mv = m₁v₁ + m₂v₂ + m₃v₃

Diperoleh vektor kecepatan salah satu pecahan granat, yakni

v₃ = 3¹/₃i + 70j + 116²/₃k (dalam m/s).

8.) Adik berjalan kaki sejauh 5√2 m ke barat laut, lalu 10 m ke timur, dan 15 m ke selatan sebelum berhenti. Hitung perpindahannya!

A. 6√3

B. 5√5

C. 2√8

D. 7√2

E. 9√6

Jawaban : B

Pembahasan :

Diketahui

r₁ = 10 m ke sumbu x positif (timur)

r₂ = 5√2 m dengan sudut 45° di kuadran II

r₃ = 15 m ke sumbu y negatif (selatan)

Ditanya

Perpindahan

Penyelesaian

Siapkan komponen proyeksi vektor r₂

• Komponen horisontal r₂cos 45⁰ = (5√2)(¹/₂√2) = 5 m
• Komponen vertikal r₂sin 45⁰ = (5√2)(¹/₂√2) = 5 m

Resultan jarak horisontal

= r₁ - r₂cos 45⁰

= 10 - 5

= 5 m

Resultan jarak vertikal

= r₂sin 45⁰ - r₃

= 5 - 15

= -10 m

Perpindahan = resultan komponen vektor

Perpindahan 

Jadi adik mengalami perpindahan sebesar 5√5 m.

9.) Pada saat sebuah pesawat  udara terbang dengan kecepatan 300 km/jam  kearah utara , ada angin yang bergerak dengan kecepatan 40 km/jam kearah 30° dari arah utara. Tentukan kecepatan pesawat udara yang sebenarnya dalam bentuk vektor.

A. 12 i + 20 j

B. 20 i + 330,5 j

C. 20 i + 334,64 j

D. 21 i + 213,63 j

E. 13 i + 233,83 j

Jawaban : C

Pembahasan :

Kecepatan pesawat udara yang sesungguhnya adalah vektor w =  v + u

w = 300 j +(20 i + 20√3 j)

    = 20 i + (300 + 20√3) j

    = 20 i + 334,64 j (mendekati)

10.) Seorang wanita meluncurkan perahu dari satu pantai di sungai lurus dan ingin mendarat langsung di titik di seberang pantai. Jika kecepatan perahu  (relatif terhadap air) adalah 10 km/jam dan sungai mengalir ke timur dengan kecepatan 5 km/jam, ke arah mana perahu  harus menuju  untuk tiba di titik pendaratan yang diinginkan?

A. 150°

B. 75°

C. 40°

D. 135°

E. 120°

Jawaban : E

Pembahasan :

kita memilih sistem koordinat dengan titik O sebagai  posisi awal perahu  seperti yang ditunjukkan pada Gambar. Vektor u dan v masing-masing mewakili kecepatan sungai dan kecepatan perahu . Jelas, u = 5i, dan karena kecepatan perahu  adalah 10 km/ jam, sehingga \|v\|=10, v = 10 cos θ i + 10 sin θ j, dimana θ adalah sudut yang arah yang diinginkan.

Arah kapal yang sebenarnya adalah vector w = u + v

w =  5i + 10 cos  θi + 10 sin θ j

w = (5+ 10 cos θ ) i + 10 sin θ j

Karena wanita itu ingin mendarat di suatu titik tepat di seberang sungai, maka komponen horizontal vektor  w harus 0. Dengan kata lain, dia harus memilih θ  sedemikian rupa sehingga  5 + 10 cos θ = 0,

θ = 120°.

Jadi wanita itu harus mengarahkan perahu  ke arah θ = 120°.

Daftar Pustaka :

• Judul : Penerapan Vektor dalam Kehidupan Sehari-hari | Contoh Soal Vektor Matematika | Soal mengenai pemakaian vektor dalam kehidupan sehari-hari | Aplikasi Vektor pada Kehidupan Sehari-hari 
• Penulis : - | Muhammad Khairil | hakimium | nurshodiq
• Tanggal tayang : - | 22 Maret 2017 | 27 Maret 2017 | 8 April 2020
• Tanggal akses : Kamis, 25 Maret 2021 pukul 21.04
• URL : http://www.allmipa.com/2016/12/12-penerapan-vektor-dalam-kehidupan.html | https://www.quipper.com/id/blog/un/matematika-un-sma/mau-siap-menghadapi-un-matematika-ini-5-contoh-soal-vektor-matematika-sma-kelas-10/ | https://brainly.co.id/tugas/10029663 | https://emodul.kemdikbud.go.id/C-Mtp-2/C-Mtp-2.pdf | https://matematikasmansaka.wordpress.com/2020/04/08/aplikasi-vektor-pada-kehidupan-sehari-hari/