SOAL PERSAMAAN EKSPONEN DAN SIFAT-SIFATNYA

Rumus-Rumus Penting Persamaan Eksponen

1. Jika a^f(x) = 1, maka f(x) = 0
2. Jika a^f(x) = a^p, maka f(x) = p
3. Jika a^f(x) = a^g(x), maka f(x) = g(x)
4. Jika a^f(x) + a^g(x) = c,
persamaan bisa dirubah menjadi persamaan kuadrat.
5. Jika f(x)^g(x) = f(x)^h(x), maka:
    - Solusi (I): g(x) = h(x)
    - Solusi (II): f(x) = 1
    - Solusi (III): f(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil.              Harus dichek lebih dahulu.
    - Solusi (IV): f(x) = 0, asalkan g(x) > 0 dan h(x) > 0.
      Harus dichek lebih dahulu.
6. Jika f(x)^g(x) = h(x)^g(x), maka:
    - Solusi (I): f(x) = h(x).
    - Solusi (II): g(x) = 0, asalkan f(x) ≠ 0 dan h(x) ≠ 0.
      Harus dichek lebih dahulu.
7. Jika f(x)^g(x) = 1, maka:
    - Solusi (I): f(x) = 1.
    - Solusi (II): f(x) = -1, asalkan g(x) genap.
    - Solusi (III): g(x) = 0, asalkan f(x) ≠ 0.
      Harus dichek lebih dahulu.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen (PE) sebagai berikut:

• PE bentuk 

Jika  dan , maka f(x) = p.

Contoh:

Maka:

• PE bentuk 

Jika a>0 dan a≠ 1, maka 

Contoh:

Maka:

• PE bentuk 

Jika , , , , dan , maka  = 0

Contoh:

Maka:

• PE bentuk 

Penyelesaian didapat dengan melogaritmakan kedua ruas

Contoh:

Maka:

• PE bentuk 

Kemungkinan yang bisa terjadi adalah:

• 

Contoh:

Mungkin:

• 

Contoh:

Mungkin:

•  asalkan  dan keduanya positif

Contoh:

Mungkin:

•  asalkan  dan  keduanya sama genap atau sama ganjil

Contoh:

Mungkin:

Soal Persamaan Eksponen

1. Akar dari persamaan 23x−1 = 32 adalah .....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8

Pembahasan :

23x−1 = 32

⟺ 23x−1 = 25

⟺ 3x - 1 = 5

⟺ 3x = 5 + 1

⟺ 3x = 6

⟺ x = 6/3

⟺ x = 2

Jadi, akar dari persamaan 23x−1 = 32 adalah x = 2
jawaban : A 

2. Akar dari persamaan 35x−1=27x+3 adalah .....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan :

35x−1=27x+3

⟺ 35x−1=(33)x+3

⟺ 35x−1=33x+9

⟺ 5x - 1 = 3x + 9

⟺ 5x - 3x = 9 + 1

⟺ 2x = 10

⟺ x = 10/2

⟺ x = 5

Jadi, akar dari persamaan 35x−1=27x+3 adalah x = 5
jawaban : E 

3. (33x−2)2=19−−√33. , maka nilai x adalah .....
A. ⅔
B. 4½
C. -3⅓
D. 3⅓
E. -4½

Pembahasan:

(33x−2)2=19−−√3

⟺ (31−x+2)2=3−2−−−√3 

⟺ 36−2x=3−2/3

⟺ 6 - 2x = -2/3

⟺ -2x = -2/3 - 6

⟺ -2x = -20/3

⟺ x = -20/-6

⟺ x = 30/3

⟺ x = 313

Jadi, x = 313
jawaban : D 

4. Jika 3x−2y = 1/81 dan 2x−y = 16, maka nilai x + y adalah .....
A. 21
B. 20
C. 18
D. 16
E. 14

Pembahasan :

(1) 3x−2y=181

⟺ 3x−2y=134

⟺ 3x−2y=3−4

⟺ x - 2y = -4 .........(1)

(2) 2x−y=16

⟺ 2x−y=24

⟺ x - y = 4  ............(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x - 2y = -4

x - y = 4 -

⟺ -y = -8

⟺ y = 8

Subtitusi nilai y = 8 ke salah satu persamaan.

x - y = 4

x - 8 = 4

x = 4 + 8

x = 12

Jadi, x + y = 12 + 8 = 20

jawaban : B 

5. Nilai x yang memenuhi persamaan 84x = ½ √2 adalah .....
A. -1/24
B. -1/16
C. -1/12
D. -1/8
E. -1/6

Pembahasan:
84x = ½ √2
⟺ 23(4x) = 2−1 . 2½
⟺ 212x = 2−1+½
⟺ 212x = 2−½
⟺ 12x = -½
⟺ x = -½ : 12
⟺ x = -1/24
jawaban : A 

6. Penyelesaian Persamaan
32x2+5x−3 = 272x+3  adalah α dan β. Nilai α . β adalah .....
A. -6
B. -3
C. 1
D. 3
E. 6

Pembahasan:
32x2+5x−3 = 272x+3
⟺ 32x2+5x−3 = 33(2x+3)
⟺ 32x2+5x−3 = 36x+9
⟺ 2x² + 5x - 3 = 6x + 9
⟺ 2x² + 5x - 3 - 6x - 9 = 0
⟺ 2x² - x - 12 = 0

Karena α dan β adalah akar-akar penyelesaiannya, maka:
α . β = c/a
        = -12/2
        = -6
jawaban : A

7. Nilai $x$ yang memenuhi $8^{x+1}={24}^{x-1}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1+6{\cdot }^2\log 3$
B. $1+4{\cdot }^2\log 3$
C. $1+6{\cdot }^3\log 2$
D. $1+4{\cdot }^3\log 2$
E. $1+6{\cdot }^5\log 2$

Pembahasan :

Dari persamaan yang diberikan, logaritmakan kedua ruas, lalu gunakan sifat logaritma dan eksponen untuk mencari nilai $x$.
$$\begin{array}{cc}\log 8^{x+1}& =\log {24}^{x-1}\\ (x+1)\log 8& =(x-1)\log 24\\ x\log 8+\log 8& =x\log 24-\log 24\\ x\log 8-x\log 24& =-(\log 24+\log 8)\\ x(\log 8-\log 24)& =-(\log 24+\log 8)\\ x& =\frac{-(\log 24+\log 8)}{\log 8-\log 24}\\ & =\frac{\log 8+\log 3+\log 8}{\log 24-\log 8}\\ & =\frac{2\log 8+\log 3}{\log 3}\\ & =\frac{2\log 2^3+\log 3}{\log 3}\\ & =\frac{6\log 2+\log 3}{\log 3}\\ & =\frac{6\log 2}{\log 3}+\frac{\log 3}{\log 3}\\ & =1+6{\cdot }^3\log 2\end{array}$$Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $1+6{\cdot }^3\log 2$
Jawaban : C

8. Nilai-nilai 

$x$ yang memenuhi persamaan $2^{2x}-3\cdot 2^{x+1}+8=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $x=1$ atau $x=2$
B. $x=-1$ atau $x=2$
C. $x=-2$ atau $x=-1$
D. $x=-2$ atau $x=1$
E. $x=1$ saja

Pembahasan :

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{array}{cc}{2}^{2x}-3\cdot 2^{x+1}+8& =0\\ (2^x{)}^2-3\cdot (2^x\cdot 2)+8& =0\\ (2^x{)}^2-6\cdot 2^x+8& =0\end{array}$
Misalkan $a=2^x$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{array}{cc}{a}^2-6a+8& =0\\ (a-4)(a-2)& =0\\ a=4\text{atau}& a=2\end{array}$
Untuk $a=4$, diperoleh $2^x=4\Rightarrow x=2$.
Untuk $a=2$, diperoleh $2^x=2\Rightarrow x=1$.
Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi persamaan eksponen tersebut adalah $x=1$ atau $x=2$
Jawaban : A

9. Bila $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $2^{2x}-6\cdot 2^{x+1}+32=0$ dengan $x_1>x_2$, maka nilai $2x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $\frac{1}{4}$                   C. $4$                     E. $16$
B. $\frac{1}{2}$                   D. $8$

Pembahasan :

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $2^x$ seperti berikut.
$\begin{array}{cc}{2}^{2x}-6\cdot 2^{x+1}+32& =0\\ (2^x{)}^2-6\cdot (2^x\cdot 2)+32& =0\\ (2^x{)}^2-12\cdot 2^x+32& =0\end{array}$
Misalkan $a=2^x$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{array}{cc}{a}^2-12a+32& =0\\ (a-4)(a-8)& =0\\ a=4\text{atau}& a=8\end{array}$
Untuk $a=4$, diperoleh $2^x=4\Rightarrow x=2$.
Untuk $a=8$, diperoleh $2^x=8\Rightarrow x=3$.
Karena $x_1>x_2$, maka $x_1=3$ dan $x_2=2$, sehingga $2x_1+x_2=2\left(3\right)+2=8$
Jawaban : D

10. Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan $3^{2x}-34\left({15}^{x-1}\right)+5^{2x}=0$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-1$                   C. $1$                    E. $5$
B. $0$                      D. $2$

Pembahasan :

Perhatikan bahwa
$$\begin{array}{cc}{3}^{2x}-34\left({15}^{x-1}\right)+5^{2x}& =0\\ (3^x{)}^2-34\cdot 3^{x-1}\cdot 5^{x-1}+(5^x{)}^2& =0\\ (3^x{)}^2-34\cdot \frac{3^x}{3}\cdot \frac{5^x}{5}+(5^x{)}^2& =0\\ (3^x{)}^2-\frac{34\cdot 3^x\cdot 5^x}{15}+(5^x{)}^2& =0\end{array}$$Misalkan $m=3^x$ dan $n=5^x$, maka kita peroleh $m^2-\frac{34}{15}mn+n^2=0$. Anggap ini sebagai persamaan kuadrat dengan variabel $m$. Berdasarkan rumus ABC dengan $a=1$, $b=-\frac{34}{15}n$, dan $c=n^2$, diperoleh akar penyelesaiannya, yaitu
$$\begin{array}{cc}m& =\frac{\frac{34}{15}n\pm \sqrt{{(-\frac{34}{15}n)}^2-4\left(1\right)\left(n^2\right)}}{2\left(1\right)}\\ & =\frac{\frac{34}{15}n\pm \sqrt{\frac{2^2\cdot {17}^2\cdot n^2}{{15}^2}-4n^2}}{2}\\ & =\frac{\frac{34}{15}n\pm \sqrt{4n^2(\frac{{17}^2}{{15}^2}-1)}}{2}\\ & =\frac{\frac{34}{15}n\pm 2n\sqrt{\frac{{17}^2-{15}^2}{{15}^2}}}{2}\\ & =\frac{\frac{34}{15}n\pm 2n\sqrt{\frac{8^2}{{15}^2}}}{2}\\ & =\frac{\frac{34}{15}n\pm 2n\cdot \frac{8}{15}}{2}\\ & =\frac{17}{15}n\pm \frac{8}{15}n\end{array}$$Dengan demikian, kita peroleh dua nilai $m$, yaitu sebagai berikut.
($+$)
$\begin{array}{cc}m& =\frac{17}{15}n+\frac{8}{15}n=\frac{25}{15}n\\ m& =\frac{5}{3}n\\ 3^x& =\frac{5}{3}\cdot 5^x\\ 3^{x+1}& =5^{x+1}\end{array}$
Persamaan terakhir terpenuhi hanya pada saat $x_1=-1$.
($-$)
$\begin{array}{cc}m& =\frac{17}{15}n-\frac{8}{15}n=\frac{9}{15}n\\ m& =\frac{3}{5}n\\ 3^x& =\frac{3}{5}\cdot 5^x\\ 3^{x-1}& =5^{x-1}\end{array}$
Persamaan terakhir terpenuhi hanya pada saat $x_2=1$.
Jadi, jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah $x_1+x_2=-1+1=0$
Jawaban : B

11. Jika $9^x+9^{-x}-3^{2+x}+3^{2-x}+16=0$, maka nilai $3^x+3^{-x}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $3$ atau $4$                   D. $3$ atau $6$
B. $2$ atau $8$                   E. $4$ atau $5$
C. $2$ atau $7$

Pembahasan :

Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menggunakan sifat-sifat eksponen seperti berikut.
$$\begin{array}{cccc}{9}^x+9^{-x}-3^{2+x}+3^{2-x}+16& =0& & \\ (3^2{)}^x+(3^2{)}^{-x}-(3^2\cdot 3^x)+(3^2\cdot 3^{-x})+16& =0& & \\ 3^{2x}+3^{-2x}-9\cdot 3^x+9\cdot 3^{-x}+16& =0& & \\ 3^{2x}+3^{-2x}& =9\cdot 3^x-9\cdot 3^{-x}-16& & \\ 3^{2x}+3^{-2x}& =9(3^x-\cdot 3^{-x})-16& & (\cdots 1)\end{array}$$Sekarang, perhatikan bahwa
$$\begin{array}{cccc}(3^x-3^{-x}{)}^2& =3^{2x}-2(3^x\cdot 3^{-x})+3^{-2x}& & \\ & =(3^{2x}+3^{-2x})-2\left(3^0\right)& & \\ & =(3^{2x}+3^{-2x})-2& & (\cdots 2)\end{array}$$Dengan substitusi persamaan $\left(1\right)$ pada $\left(2\right)$, didapat
$$\begin{array}{cc}(3^x-3^{-x}{)}^2& =\left(9\right(3^x-\cdot 3^{-x})-16)-2\\ (3^x-3^{-x}{)}^2& =9(3^x-\cdot 3^{-x})-18\end{array}$$Misalkan $3^x-3^{-x}=a$, maka diperoleh persamaan kuadrat
$\begin{array}{cc}{a}^2& =9a-18\\ a^2-9a+18& =0\\ (a-6)(a-3)& =0\end{array}$
Diperoleh $a=6$ atau $a=3$.
Ini menunjukkan bahwa nilai $3^x-3^{-x}$ adalah $3$ atau $6$.
Jawaban : D

12. Bila $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $3^{4-x}+3^x-30=0$, maka nilai $x_1+x_2=\cdots \cdot$
A. $1$                               D. $4$
B. ${}^3\log 10$                     E. ${}^3\log 30$
C. $3$

Pembahasan :

Persamaan tersebut dapat diubah bentuknya menjadi persamaan kuadrat dengan terlebih dahulu memunculkan bentuk $3^x$ seperti berikut.
$\begin{array}{cc}{3}^{4-x}+3^x-30& =0\\ (3^4\cdot 3^{-x})+3^x-30& =0\\ 81\cdot 3^{-x}+3^x-30& =0\\ \text{Kalikan kedua ruas}& \text{dengan}{3}^x\\ (81\cdot 3^0)+(3^x{)}^2-30\cdot 3^x& =0\\ (3^x{)}^2-30\cdot 3^x+81& =0\end{array}$
Misalkan $a=3^x$, maka kita peroleh sebuah persamaan kuadrat dan dapat diselesaikan menggunakan pemfaktoran.
$\begin{array}{cc}{a}^2-30a+81& =0\\ (a-27)(a-3)& =0\\ a=27\text{atau}& a=3\end{array}$
Untuk $a=27$, diperoleh $3^x=27\Rightarrow x=3$.
Untuk $a=3$, diperoleh $3^x=3\Rightarrow x=1$.
Jadi, kita peroleh $x_1=3$ dan $x_2=1$ (terbalik tidak menjadi masalah karena tidak mengubah hasil akhir nantinya), sehingga $x_1+x_2=3+1=4$
Jawaban D

Data Artikel :

• Judul : Soal dan Pembahasan - Persamaan Eksponen, Soal dan Pembahasan Persamaan Eksponen, 
• Penulis : Sukardi, Ilmuku Duniaku
• Tangga tayang : 18 Mei 2020, -
• Tanggal akses : 20 Oktober 2020, pukul 19.00
• URL : https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-eksponen/, http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2016/09/persamaan-eksponen-pangkat.html