SUDUT ANTAR VEKTOR PADA BIDANG BERDIMENSI DUA DAN BERDIMENSI TIGA BERSAMA CONTOH SOALNYA

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 27

Vektor pada Ruang Dimensi Dua

Ruang dimensi dua merupakan bidang datar yang memiliki dua sumbu yaitu sumbu x dan sumbu y. Jadi, vektor yang berada pada ruang dimensi dua memiliki dua faktor penentu arah, yaitu sumbu x dan sumbu y. Cara menyatakan vektor pada ruang dimensi dua berupa susunan bilangan real, di mana urutan pertama merupakan arah untuk absis (sumbu-x) dan urutan kedua merupakan arah untuk ordinat (sumbu-y).

Penulisan vektor satu satuan pada ruang dimensi dua di sumbu x positif:

Penulisan vektor satu satuan pada ruang dimensi dua di sumbu y positif:

Perhatikan gambar di bawah!

Keterangan :

Sebuah vektor dapat ditentukan panjangnya berdasarkan keterangan pada arah vektor. Jika sebuah vektor disimbolkan denganmaka panjang vektor dinotasikan dengan. Rumus panjang,, danadalah sebagai berikut.

Vektor di Ruang Dimensi 3

Arah vektor pada ruang dimensi tiga ditentukan oleh tiga faktor penentu arah, yaitu sumbu-x, sumbu y, dan sumbu-z. Cara menyatakan vektor pada ruang dimensi tiga berupa susunan bilangan real, di mana urutan pertama merupakan arah untuk sumbu-x, urutan ke dua untuk arah untuk sumbu-y, dan urutan ke tiga untuk arah sumbu-z.

Vektor-vektor satuan pada sumbu x positif, y positif, dan z positif berturut-turut dapat dilihat seperti persamaan di bawah.

Selanjutnya, perhatikan gambar vektor pada ruang dimensi tiga di bawah!

Vektor pada ruang dimensi tiga juga dapat diketahui panjangnya melalui koordinat arah pada simbol vektor. 

Contoh Soal

1.) Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q. Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom

A. (3, 4)

B. (-4, 3)

C. (4, 3)

D. (-3, 4)

E. (-4, -3)

Jawaban : C

Pembahasan :

Titik P berada pada koordinat (3, 1)

Titik Q berada pada koordinat (7,4)

2.) Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q. Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)

A. 4i + 3j

B. 3i - 4i

C. 4i - 3j

D. 3i + 4j

E. 4i + 3i

Jawaban : A

Pembahasan : 

Titik P berada pada koordinat (3, 1)

Titik Q berada pada koordinat (7,4)

PQ = 4i + 3j

3.) Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q. Tentukan modulus atau panjang vektor PQ

A. 6

B. 2

C. 9

D. 5

E. 7

Jawaban : D

Pembahasan : 

4.) Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:

Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan vektor SV dalam bentuk kolom

A. (5, 10, -5)                    

B. (5, 10, 5)

C. (-5, 10, 5)

D. (10, 5, 5)

Jawaban : A

Pembahasan ;

5.) Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..

A. 4/3

B. 8/9

C. ¾

D. 3/8

E. 8/36

Jawaban : A

Pembahasan :

Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:

Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:

6.) Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah….

A. i − j + k

B. i − 3j + 2k

C. i − 4j + 4k

D. 2i − j + k

E. 6i − 8j + 6k

Jawaban : B

Pembahasan :

Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).

7.) Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah….

A. 1/8 π

B. 1/4 π

C. 1/3 π

D. 1/2 π

E. 2/3 π

Jawaban : E

Pembahasan :

Sudut antara dua buah vektor:

8.) Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah….

A. 0

B. 1/4 π

C. 1/2 π

D. 3/4 π

E. π

Jawaban : C

Pembahasan :

Tentukan vektor u dan v terlebih dulu:

u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k

v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j

Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π

9.) Diketahui Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah….

A. 1/2

B. 1/2 √2

C. 1/14√14

D. 2√14

E. 7/2√14

Jawaban : D

Pembahasan :

2u + 3v misalkan dinamakan r

Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah

10.) Diberikan tiga buah vektor masing-masing:

a = 6p i + 2p j − 8 k

b = −4 i + 8j + 10 k

c = − 2 i + 3 j − 5 k

Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah…..

A. − 58 i − 20 j − 3k

B. − 58 i − 23 j − 3k

C. − 62 i − 17 j − 3k

D. − 62 i − 20 j − 3k

E. − 62 i − 23 j − 3k

Jawaban :B

Pembahasan :

Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:

a ⋅ b = 0

(6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0

− 24p + 16p − 80 = 0

− 8p = 80

p = − 10

Dengan demikian vektor a adalah

a = 6p i + 2p j − 8 k

a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k

a = −60 i − 20 j − 8 k

a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k)

a - c = -58 i - 23 j - 3 k 

Daftar Pustaka :

• Judul : Contoh Soal dan Jawaban Vektor Terbaru dan Lengkap
• Penulis : - 
• Tanggal tayang : 28 September 2019
• Tanggal akses : Jumat, 26 Februari 2021 pukul 18.43
• URL : https://contoh123.info/materi-contoh-soal-dan-pembahasan-vektor-sma-kelas-12-tuntas/