PANJANG VEKTOR DARI: 2 TITIK KOORDINAT (DUA atau TIGA DIMENSI), KOORDINAT TITIK DAN SUDUT SERTA CONTOH SOALNYA

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 27

Panjang Vektor

Panjang vektor merupakan jarak dari titik pangkal vektor ke titik ujungnya. Notasi panjang vektor adalah ||. Sebagai contoh, jika kita memiliki vektor dengan titik pangkal A dan titik ujung B, maka panjang vektor AB dinotasikan |AB|. Lantas, bagaimana menentukan panjang vektor?

Coba amati vektor AB = (a1,a2) berikut.

Dapat diperoleh

Dengan kata lain, untuk suatu vektor, panjang vektordapat dinyatakan sebagai

Penentuan panjang vektor dalam ruang berdimensi tiga mirip dengan penentuan panjang vektor dalam ruang dimensi dua. Misal dalam ruang dimensi tiga diambil vektor. Panjang vektordapat dinyatakan sebagai. Secara umum, untuk dimensi-n, panjang vektordapat dinyatakan

Selanjutnya, bagaimana menentukan panjang vektor yang sudah mengalami perkalian skalar? Diambil suatu vektoryang merupakan perpanjangan k kali dari vektor. Untuk mempermudah pemahaman, mari cermati gambar berikut.

Panjang vektordapat dinyatakan sebagai berikut:

Dengan kata lain, panjang suatu vektor yang merupakan perpanjangan sebesar k dari vektor yang lain adalah k kali panjang vektor mula-mula, dengan k skalar.

Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah. Nilai (besar) vektor dinyatakan dengan panjang garis dan arahnya dinyatakan dengan tanda panah. Notasi vektor biasanya dengan menggunakan tanda anak panah di atasnya atau bisa juga dengan menggunakan huruf kecil yang tebal. Suatu vektor biasanya juga bisa dinyatakan dengan pasangan terurut bilangan real atau bisa juga dengan menggunakan matriks kolom.

Vektor dua dimensi adalah vektor bidang yang memiliki arah ke sumbu x dan ke sumbu y

Vektor tiga dimensi adalah vektor ruang yang memiliki arah ke sumbu x, ke sumbu y dan ke sumbu z

Contoh Soal 

1.) Jika A(3,−1,2); B(4,6,2) dan C(4,2,0) maka vektor satuan dari AB→ + BC→ =…

A. 3i −j +2k 

B. 4+6j +2k 

C. 4i +2j 

D. i +7j +2k 

E. i +3j −2k

Jawaban : E

Pembahasan :

Kita punya AB→ = (1,7,0) dan BC→ = (0,−4,−2), sehingga AB→ + BC→ = (1,3,−2).

Dalam vektor satuan, ditulis AB→ + BC→ =i +3j −2k 

2.) Diketahui: a⃗ =(3,−2), b⃗ =(1,5) dan c⃗ =(2,4). Berapakah panjang vektor (3a⃗ −(2c⃗ −3a⃗ ))?

A. √400

B. √441

C. √484

D. √529

E. √596

Jawaban : E

Pembahasan : 

Perhatikan bahwa

(3a −(2c −3a )) = 6a −2c =(18,−12)−(4,8)=(14,−20).

Sehingga panjangnya adalah

√14^2 + (-20)^2 = √196 + 400 = √596

3.) Jika |a | = 4, |b| = 2 dan |a + b| = 2√7, maka |a - b| =…

A. 2

B. 3

C. 2√3

D. 4

E. 3√2

Jawaban : C

Tulisθ sebagai sudut antara a dengan b. Maka kita tahu bahwa 180∘−θ adalah sudut antara a dan −b.

Sehingga,

(|a +b|)^2 = 28

=|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cos(θ)

=20+2|a||b|cos(θ)

Sehingga |a||b|cos(θ) = 4 .

Jadi

(|a −b|)^2 = |a|^2+|b|^2 + 2|a||b|cos(180∘−θ)

=42 + 22 − 2|a||b|cos(θ)

=16 + 4 − 8

=12.

Jadi, |a −b|=2√3 .

4.) Diketahui titik A(2,1,−1) dan titik B(2,0,2). Jika vektor a merupakan wakil dari vektor AB→ maka nilai dari |−3a| sama dengan…

A. 2√10

B. 3√10

C. 4√10

D. 6√10

E. 9√10

Jawaban : B

Pembahasan :

Vektor a = (2,0,2) − (2,1,−1) = (0,−1,3)

sehingga |a| = √0^2 + (-1)^2 + 3^2 = √10

sehingga |−3a| = 3|a| = 3√10

5.) Titik A(1 1/2,2 1/2,1), B(1,0,0), C(2,5,p). Bila A,B,C terletak pada satu garis lurus, berapakah nilai p?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

Jawaban : C

Kita punya 2BA→ = (1,5,2)

sehingga BC→ = (1,5,p) = (k,5k,2k).

Jelas bahwa k = 1, sehingga p = 2.

6.) Jika P(1,2,−3) dan Q(11,−3,7) dan R membagi garis PQ dengan perbandingan 3:2, maka nilai dari PR→ ⋅ RQ→ adalah…

A. 54

B. 48

C. 36

D. 18

E. 9

Jawaban : A

Perhatikan bahwa sudut antara PR→ dan RQ→ adalah 0 derajat, sehingga menghitung

PR→ ⋅ RQ→ = |PR||RQ|cos(0) = |PR||RQ|

Kemudian, perhatikan bahwa

|PQ| = √10^2 + (-5)^2 + 10^2 = √225 = 15

Sehingga, kita punya |PR| = 3/5 × 15 = 9 dan |RQ| = 6.

Jadi PR→ ⋅ RQ→ = 9 × 6 = 54

6.) Panjang vektor dari a→=(2,−3,1) adalah…

A. 2

B. 3

C. √12

D. √14

E. 4

Jawaban : D

Pembahasan : 

∣a→∣ = √2^2 + (-3)^2 + 1^2 = √4 + 9 + 1 = √14

Jadi panjang vektor a→ = √14

7.) Jika |a| = 3 dan |b| = 5 dan sudut antara a dan b adalah 120°, berapa nilai |a − b|?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

Jawaban : E

Kita punya

|a − b|^2 = |a|^2 + |b|^2 − 2|a||b|cos(120°) = |a|^2 + |b|^2 + |a||b| = 3^2 + 5^2 + 3 × 5 = 49

sehingga |a − b| = 7

8.) Diketahui |u| = 5√5, |u − v| = 15 dan |u + v| = 25, berapakah nilai |v|?

A. 6√3

B. 7√3

C. 8√3

D. 9√3

E. 10√3

Jawaban : E

Misalkan a = |u| = 5√5 dan b = |v|, maka kita cukup mencari nilai b.

Misalkan sudut antara u dan v adalah θ, maka kita punya sudut antara u dan -v  adalah 180∘ − θ.

Sehingga, kita punya 25^2 = 125 + b^2 + 2abcos(θ)15^2 = 125 + b^2 − 2abcos(θ).

Jadi, 2b^2 = 25^2 + 15^2 − 250 = 600, sehingga b^2 = 300.

Jadi, b = √300 =10√3

9.) Vektor satuan dari w→ = (2,2,−4) , vektor satuannya adalah…

A. (1/√14,2/√14,3/√14)

B. (−1/√6,1/√6,2/√6)

C. (2/√8,2/√8,−2/√8)

D. (1/√6,1/√6,−2/√6)

E. (√5/4,2/4,−√6/4)

Jawaban : D

Pembahasan : 

Vektor satuan = w→/∣w→∣ = (2,2,−4)/√2^2 + 2^2 + (-4)^2 = (2,2,−4)/√4+4+16 = (2,2,−4) 2√6 = (1/√6,1/√6,−2/√6)

10.) Diketahui A(−1,2,4), B(2,5,−2) dan C(3,4,7). Titik P pada AB sehingga AP:PB=1 : 2. Berapakah koordinat titik P?

A. (0,4,2)

B. (0,3,3)

C. (0,−3,2)

D. (0,3,−2)

E. (0,3,2)

Jawaban : E

Pembahasan :

Perhatikan bahwa

p = 2a+b/3 = (−2,4,8)+(2,5,−2)/3 = (0,9,6)/3 = (0,3,2)

Jadi, koordinat titik P adalah (0,3,2).

Daftar Pustaka : 

• Judul : Panjang Vektor | Pelajaran, Soal & Rumus Panjang Vektor & Vektor Satuan
• Penulis : - | -
• Tanggal tayang : - | -
• Tanggal akses : Jumat, 19 Februari 2021 pukul 06.47
• URL : https://geometri.mipa.ugm.ac.id/belajar/2019/panjang-vektor/ | https://www.wardayacollege.com/matematika/vektor/panjang-vektor-vektor-satuan/panjang-vektor-vektor-satuan/