Latihan PTS Kelas X Semester 2

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 27

Soal dan Pembahasan Latihan PTS Semester 2

1.) Jika vektor a = (1, 2 ,3), b = (5, 4, -1), dan C = (4, -1, 1) maka hasil dari operasi vektor a + 2b - 3c adalah...

A. (6, 11, -8)

B. (7, 13, -8)

C. (-1, 12, -2)

D. (-1, 13, -2)

E. (-6, -12, 8)

Jawaban : D

Pembahasan : 

a + 2b - 3c

(1, 2, 3) + 2(5, 4, -1) - 3(4, -1, 1)

(1, 2, 3) + (10, 8, -2) - (12, -3, 3)          lakukan perkalian silang pada 2b dan -3c

(1 + 10 - 12 | 2 + 8 -(-3) | 3 +(-2) - 3)

(-1, 13, -2)

2.) Diketahui |a| = √3, b = 1 dan |a - b| = 1. Panjang vektor a + b adalah...

A. √3

B. √5

C. √7

D. 2√2

E. 3

Jawaban : C

Pembahasan :

|a - b|² = |a|² + |b|² - 2.a.b.cosα

1² = (√3)² + 1² - 2.a.b.cosα

1 = 3 + 1 -  2.a.b.cosα

1 = 4 - 2.a.b.cosα

2.a.b.cosα = 4 - 1

|a + b|² = |a|² + |b|² + 2.a.b.cosα

|a + b|² = (√3)² + 1² + 3

|a + b|² = 3 + 1 + 3

|a + b|² = 7

|a + b| = √7

3.) Diketahui a = 2i - 3j + 4k dan b = 5j + 5k. Nilai a.b adalah...

A. -11

B. 5

C. 7

D. 8

E. 11

Jawaban : B

Pembahasan :

a = 2i - 3j + 4k,

b = 5j + 5k = 0i + 5j + 5k

a.b = 2(0) + (-3)(5) + 4(5) 

a.b = 0 - 15 + 20 

a.b = 5

4.) Diketahui la + bl = 2√19, jika lal = 4 dan lbl = 6 maka la - bl adalah...

A. 2√7

B. 7√2

C. 27

D. 28

E. 48

Jawaban : A

Pembahasan :

|a + b| = 2√19

|a + b|^2 = (2√19)^2

|a|^2 + 2ab + |b|^2 = 4(19)

4^2 + 2ab + 6^2 = 76

16 + 2ab + 36 = 76

2ab = 24

|a - b|^2 = |a|^2 - 2ab + |b|^2

|a - b|^2 = 4^2 - 24 + 6^2

|a - b|^2 = 28

|a - b| = √28 

|a - b| = 2√7

5.) Diketahui vektor a = 2i - 3j + k, b = pi + 2j  - k, dan c = i - j + 3k. Jika b tegak lurus terhadap vektor c, vektor a - b - c = ...

A. -4i + 4j + 3k

B. -4i - 4j + 3k

C. -4i - 4j - k

D. -3i + 4j + 4k

E. 3i - 4j - k

Jawaban : C

Pembahasan :

b tegak lurus terhadap vektor c artinya vektor b dikali vektor c sama dengan nol (b.c = 0), ini untuk menentukan nilai p yang belum diketahui

b.c = 0

(p, 2, -1) . (1, -1, 3) = 0

p - 2 - 3 = 0

p = 5

jadi vektor b = 5i + 2j - k

vektor a - b - c

(2, -3, 1) - (5, 2, -1) - (1, -1, 3)

(2 - 5 - 1 | -3 - 2 -(-1) | 1 -(-1) - 3)

(-4, -4, -1) = -4i - 4j - k

6.) Jika sudut antara vektor a = i + √2j + pk dan vektor b = i - √2j + pk adalah 60°, maka p adalah...

A. -1/2 atau 1/2

B. -1 atau 1

C. -√2 atau √

D. -√5 atau √5

E. -1/2√5 atau 1/2√5

Jawaban : D

Pembahasan :

a = i +√2 j + pk

b = i - √2 j + pk

a . b = (i + √2j + pk) (i - √2j + pk)

a . b = 1 - 2 + p² 

a . b = -1 + p² 

|a| |b|  = √1 + 2 + p² . √1 + 2 + p² 

|a| |b| = 3 + p²

a.b/|a||b| = cos60°

-1 + p²/3 + p² = 1/2

-1 + p² = 3+p²/2

-2 + 2p² = 3 + p² 

2p² - p² = 3 + 2

p² = 5

p = -√5 atau √5

7.) Titik A (3, 2, -1), B (1, -2, 1), dan C (7, p - 1, -5) segaris untuk nilai p =.....

A. -13

B. -11

C. 5

D. 11

E. 13

Jawaban : D

Pembahasan : 

A = (3, 2, -1)

B = (1, -2, 1)

C = (7,(p - 1), -5)

panjang AB = B - A

= (1, -2, 1) - (3, 2, -1)

= (-2, -4, 2)

panjang BC = C - B

= (7, (p - 1), -5) - (1, -2, 1)

= (6, (p + 1), -6)

kita cari konstanta yang mengubah (-2, -4, 2) menjadi (6, (p + 1), -6)

misal kita ambil vektor dari sumbu x

-2 . x = 6

x = 6 / -2

x = -3

maka,

-4 . x = (p + 1)

-4 . -3 = p + 1

12 = p + 1

p = 12 - 1

p = 11

8.) Diketahui titik A (3, 1, -4), B (3, -4, 6) dan C(-1, 5, 4). Titik P membagi vektor AB sehingga, AP : PB = 3 : 2 maka vektor yang di wakili oleh PC adalah...

A. (-4, 3, -6)

B. (-4, 3, 6)

C. (-4, -7, 2)

D. (4, -7, 2)

E. (-4, 7, 2)

Jawaban : E

Pembahasan : 

AP : PB = 3 : 2, maka

p =

p =

p =

p =

p = (3, –2, 2)

Jadi vektor PC

= c – p

=

=

= –4i + 7j + 2k

= (–4, 7, 2)

9.) Panjang proyeksi orthogonal vektor a = (-2, 8, 4) pada vektor b = (0, p, 4) adalah 8. Nilai p =

A. -4

B. -3

C. 3

D. 4

E. 6

Jawaban : C

Pembahasan :

a . b =

a . b = –2(0) + 8p + 4(4)

a . b = 8p + 16

Panjang Vektor b

| b | =
| b | =

Panjang Proyeksi Vektor a pada b = 8

= 8

= 8

= 8

8(p + 2) = 8√(p² + 16)

(p + 2) = √(p² + 16)

kuadratkan kedua ruas

(p + 2)² = (p² + 16)

p² + 4p + 4 = p² + 16

4p = 16 – 4

4p = 12

p = 3

10.) Diberikan vektor a = (p, 2, -1), b = (4, -3, 6) dan c = (2, -1, 3). Jika vektor a tegak lurus vektor b, maka hasil dari (a - b).(2c) adalah...

A. 171

B. 56

C. -17

D. -56

E. -171

Jawaban : D

Pembahasan : 

a . b = 0

(p, 2, -1) . (4, -3, 6) = 0

p(4) + 2(-3) + (-1)(6) = 0

4p - 6 - 6 = 0

4p = 12

p = 3

a - b =...

= (p, 2, -1) - (4, -3, 6)

= (3, 2, -1) - (4, -3, 6)

= (-1, 5, -7)

2c =...

= 2(2, -1, 3) 

= (4, -2, 6)

(a - b) . (2c)

= (-1, 5, -7) . (4, -2, 6)

= -1(4) + 5(-2) + (-7)(6)

= -4 - 10 - 42

= -56

11.) Diketahui titik A (1, 2, 3), B (3, 3, 1), dan C (7, 5, -3). Jika titik A, B, dan C segaris (kolinear), maka perbandingan AB : BC adalah...

A. 1 : 2

B. 2 : 1

C. 2 : 5

D. 5 : 7

E. 7 : 5

Jawaban : A

Pembahasan : 

AB = b - a

AB = (3,3,1) - (1,2,3)

AB = (2,1,-2)

BC = c - b

BC = (7,5,-3) - (3,3,1)

BC = (4,2,-4)

AB : BC

(2,1,-2) : (4,2,-4)

(2,1,-2) : 2(2,1,-2)

1  :  2

12.) Jika vektor tak nol a dan b memenuhi |a + b| = |a - b|, maka vektor a dan b saling...

A. membentuk sudut 90°

B. membentuk sudut 60°

C. membentuk sudut 45°

D. searah

E. berlawanan

Jawaban : A

Pembahasan : 

|a + b| = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x

|a - b| = √|a|² + |b|² - 2 |a| |b| . cos x

√|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cos x = √|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx

AKAR NYA HILANG JADI

|a|² + |b|² + 2 |a| |b| . cosx = |a|²+|b|² + 2 |a| |b| . cosx

|a| |b| . cos x + 2 |a| |b| . cos x = 0

4 |a| |b| . cos x = 0

0/4 |a|.|b|

0

cos x = 0 = 90°

jadi a dan b saling membentuk sudut 90°

13.) Diketahui titik A (2, 7, 8), B (-1, 1, -1) dan C (0, 3, 2). Jika u mewakili AB dan v mewakili BC, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah...

A. -3i - 6j - 9k

B. i + 2j + 3k

C. 1/3i + 2/3j + k

D. -9i - 18j - 27k

E. 3i + 6j + 9k

Jawaban : A

Pembahasan :

AB = B - A

AB = (-1 , 1 , -1) - (2 , 7 , 8)

AB = (-3, -6, -9)

AB = u

BC = C - B

BC = (0, 3, 2) - (-1, 1, -1)

BC = (1, 2, 3)

BC = v

Maka ,

Proyeksi orthogonal u pada v :

( (u . v) / |v|² ) . v

( (-3, -6, -9) . (1, 2, 3) / √(1² + 2² + 3²)² ) . (1, 2, 3)

(-3 -12-27) / 14) . (1, 2, 3)

(-42/14) . (1, 2, 3)

-3 . (1, 2, 3)

-3i - 6j - 9k

14.) Jika diketahui vektor a = 2i - 3j + 6k dan vektor b = i + pj - k saling tegak lurus, maka nilai p adalah...

A. -1

B. -4/3

C. -5/3

D. -8/3

E. -3

Jawaban : B

Pembahasan : 

Saling tegak lurus, maka

a . b = 0

(2, -3, 6) . (1, p, -1) = 0

2 + (-3p) + (-6) = 0

-3p - 4 = 0

-3p = 4

p = -4/3

15.) Diketahui vektor a = 5i + j + 7k dan b = 3i - j + 2k. Proyeksi ortogonal vektor a pada b adalah...

A. 5i + 2j + 9k 

B. 6i - 2j + 4k 

C. 5i + j + 7k

D. 8i - 2j + 9k 

E. 6i + 2j + 4k

Jawaban : B

Pembahasan : 

a . b ÷ |b|² . b

5.3 + 1.(-1) + 7.2 ÷ |√3²+(-1)²+2²|² . b

15 + (-1) + 14 ÷ |√9+1+4|² . b

28 ÷ |√14|² . b

28 ÷ 14 . b

2 (3i - j + 2k)

6i - 2j + 4k 

16.) Diketahui vektor a = (3, -2, 1), vektor b = (2, y, 2). Jika z projeksi a terhadap b dan vektor |z|= vektor ½ |b|, maka nilai y yang memenuhi adalah...

A. 2√3

B. -2

C. -2 + 2√3

D. 2 + 2√3

E. 2√3 - 2 atau -2 - 2√3

Jawaban : E

Pembahasan :

|z| = ½ |b|

|z| = ½ √(2)² + (y)² + (2)²

|z| = ½ √y² + 8

a.b =...

= (3, -2, 1) (2, y, 2) 

= (6 - 2y + 2) 

= 8 - 2y

Proyeksi a pada b

|z| = a.b / |b|

½ √y² + 8 = (8 - 2y) /√y² + 8

½ (√y² + 8) (√y² + 8) = 8 - 2y

y² + 8 = 2 (8 - 2y)

y² + 8 = 16 - 4y

y² + 4y - 8 = 0

y = (-4 ± 2√10) / 2

= 2√3 - 2 atau -2 - 2√3

17.) Misal vektor u = 9i + bj + ak dan v = ai + aj - bk. Sudut antara vektor u dan v adalah θ dengan cos  θ = 6/11. Proyeksi vektor u pada v adalah p = 4i + 4j - 2k. Nilai a adalah.....

A. √2

B. 2

C. 2√2

D. 4

E. 4√2

Jawaban : E

Pembahasan : 

diketahui

 dan

Kedua vektor membentuk sudut θ dengan cos θ = ⁶/₁₁.

Vektor proyeksi u pada v adalah

Kita coba siapkan terlebih dahulu perkalian titik (dot product) dari vektor u dan vektor v.

Langkah pertama adalah membentuk persamaan dari vektor-vektor u dan v terkait cosinus sudut antara keduanya.

Rumus cosinus sudut vektor u dan v

Sederhanakan dengan kedua pembilang dibagi 3.

Kita sebut sebagai Persamaan-1.

Langkah kedua adalah membentuk hubungan antara vektor v dengan vektor proyeksi u pada v yaitu vektor p.

Vektor proyeksi u pada v adalah vektor p, yakni

KIta misalkan sebagai k yaitu faktor pembanding (atau pengali)

Dapat disimpulkan bahwa jika vektor proyeksi u pada v adalah p, maka terdapat hubungan 

Diperoleh ka = 4, kb = 2, dan ka = 4.

Dari k = ⁴/ₐ disubsitusikan ke kb = 2 menjadi  (⁴/ₐ)b = 2 lalu menjadi 4b = 2a.

Selanjutnya diperoleh hubungan a = 2b sebagai Persamaan-2.

Substitusikan Persamaan-2 ke Persamaan-1.

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar kuadrat.

5b² + 81 = 121

5b² - 40 = 0

Sederhanakan kedua ruas dengan dibagi 5.

b² - 8 = 0

Faktorkan.

(b - √8)(b + √8) = 0

Untuk b = √8 diperoleh b = 2√2

Untuk b = -√8 diperoleh b = -2√2

a = 2b

a = 2(2√2) atau 2(-2√2)

a = 4√2 atau -4√2

18.) Jika a = (x+1)i + xj, b = 2xi + (3x+1)j, dan p adalah proyeksi vektor b ke a, maka |p| ≤ 2|a| untuk ...

A. x < 1

B. -2 < x < 1

C. -1 < x < 2

D. x > 2

E. x > 1

Jawaban : C

Pembahasan :

x + 1 > 0 atau x - 2 < 0

x > -1 atau x < 2

{-1 < x < 2}

Maka |p| < 2|a| untuk { -1 < x < 2} 

Perhatikan petunjuk berikut ini

A. Pernyataan benar, alasan benar, dan mempunyai hubungan sebab akibat 

B. Pernyataan benar, alasan benar, tetapi tidak mempunyai hubungan sebab akibat 

C. Pernyataan benar, alasan salah

D. Pernyataan salah, alasan benar 

E. Pernyataan dan alasan semuanya salah 

Gunakan petunjuk diatas untuk nomor 19 dan 20

19.) vektor u = 2i + j + 2k dan vektor v = 4i + 2j + 4k adalah vektor searah 

sebab 

Nilai u . v = 18

A. Pernyataan benar, alasan benar, dan mempunyai hubungan sebab akibat 

Karena,

u . v = 2(4) + 1(2) + 2(4)

u . v = 8 + 2 + 8

u . v = 18

20.) Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A (4, 7, 0), B (6, 10, -6) dan C (1, 9, 0) merupakan segitiga siku-siku 

sebab 

Nilai AB . AC > 0

E. Pernyataan dan alasan semuanya salah 

Karena,

A = (4,7,0)

B = (6,10,-6)

C = (1,9,0)

AB = vektor B - vektor A

AB = (6,10,-6) - (4,7,0)

AB = (2,3,-6) > u

AC = vektor C - vektor A

AC = (1,9,0) - (4,7,0)

AC = (-3,2,0) > v

u • v = |u| × |v| × cosA

(2 × -3) + (3 × 2) + (-6 × 0) = √2^2 + 3^2 + (-6)^2 × √(-3)^2 + (2)^2 × cosA

-6 + 6 = 7 × √13 × cosA

0 = 7√13 × cosA

0/7√13 = cosA

0 = cosA

90° = A