PROYEKSI ORTOGONAL DAN PANJANG PROYEKSI BERSAMA CONTOH SOALNYA

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 27


Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal biasa disebut juga dengan proyeksi panjang vektor ortogonal. Dalam kata lainnya, objek proyeksi adalah panjang vektor. Rumus untuk menghitung panjang proyeksi skalar vektor ortogonal adalah sebagai berikut.

1. Proyeksi skalar ortogonal pada arah vektor


2. Proyeksi skalar ortogonal pada arah vektor


Proyeksi Vektor Ortogonal

Objek pada proyeksi skalar vektor ortogonal adalah panjang proyeksi vektor. Sedangkan pada proyeksi vektor ortogonal yang menjadi objek utamanya adalah vektornya. Vektor hasil proyeksi dapat ditentukan melalui rumus berikut.

1. Proyeksi vektor ortogonal pada

2. Proyeksi vektor ortogonal pada



Panjang Proyeksi Vektor

Misalkan OA = a,  OB = b, dan OP = p, dengan |a| , |b| dan |p| berturut-turut adalah panjang dari vektor a, b dan p.


Dengan bantuan trigonometri, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| dapat dinyatakan dalam bentuk :

|p| = |a| cos θ,     jika θ lancip
|p| = -|a| cos θ,    jika θ tumpul

Mengingat , maka









Walaupun persamaan terakhir bertanda negatif, namun nilainya tetap positif. Hal ini disebabkan, ketika θ tumpul, maka a ‧ b < 0.

Secara umum, panjang proyeksi vektor a pada b, yaitu |p| kita rumuskan




dengan
|p| = panjang proyeksi vektor a pada b
|b| = panjang b
|a ‧ b| = nilai mutlak dari a ‧ b


Contoh Soal

1.) Panjang proyeksi ortogonal vektor \vec{a} = (p, 2, 4) pada \vec{b} = (2, p, 1) adalah 4. Nilai p adalah ….

     \[ \textrm{A.} \; \; \; -4 \]

     \[ \textrm{B.} \; \; \; -2 \]

     \[ \textrm{C.} \; \; \; - \frac{1}{2} \]

     \[ \textrm{D.} \; \; \; \frac{1}{2} \]

     \[ \textrm{E.} \; \; \; 2 \]

Jawaban : E

Pembahasan : 
Mencari panjang vektor b:

     \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{2^{2} + p ^{2} + 1^{2}} \]

     \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{4+ p ^{2} + 1} \]

     \[ \left| \vec{b} \right| = \sqrt{p ^{2} + 5} \]

    Berdasarkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh persamaan berikut.

     \[ \left| \vec{c} \right| = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|} \]

     \[ 4 = \frac{(p, 2, 4)(2, p, 1)}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ 4 = \frac{2p + 2p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ 4 = \frac{4p + 4}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

    \[ 4 = \frac{4(p + 1)}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ 1 = \frac{p + 1}{\sqrt{p^{2}+5}} \]

     \[ \sqrt{p^{2}+5} = p + 1 \]

     \[ p^{2}+5 = (p + 1)^{2} \]

     \[ p^{2}+5 = p^{2} + 2p + 1 \]

     \[ 5 = 2p + 1 \]

     \[ 2p = 5 - 1 \]


    \[ 2p = 4 \rightarrow p=\frac{4}{2} = 2 \]


    2.)  Diketahui a = [8, 4]  dan  b = [4, -3]. Tentukan panjang proyeksi vektor a pada b dan panjang proyeksi vektor b pada a ...

    A. √5

    B. 3√2

    C. √3

    D. 5√3

    E. √2

    Jawaban : A

    Pembahasan :

    Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

    |p|=|a⋅b||b|=|8(4)+4(−3)|42+(−3)2=|20|5=4

    Panjang proyeksi vektor b pada a adalah


3.) Panjang proyeksi vektor a = 3i + 4j - k  pada vektor b = i - 2j + k  adalah ...
A. √11
B. √6
C. √3
D. 6
E. 2√3

Jawaban : B

Pembahasan :
a = [3, 4, -1]
b = [1, -2, 1]

Panjang proyeksi vektor a pada b adalah

|p|=|3(1)+4(−2)+(−1)1|12+(−2)2+12=|−6|6=6



4.) Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi skalar dari u pada v adalah...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Jawaban : B

Pembahasan :
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Maka proyeksi skalar u pada v = u . v / |v| = 14 / 7 = 2


5.) Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - 3j - 6 k. Proyeksi vektor u pada v adalah...
A. 4i + 6j - 12k
B. 4i - 6j + 12k
C. 4i - 6j - 12k
D. 4i + 6j + 12k
E. 2i - 3j - 6k

Jawaban : C

Pembahasan :
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
Menghitung u . v
u . v = 1 . 2 + 2 . - 3 + - 3 . - 6 = 2 - 6 + 18 = 14
Proyeksi vektor u pada v = (u . v) v / |v|2 = 14 / 7 v = 2 (2i - 3j - 6k) = 4i - 6j - 12k


6.) Diketahui vektor u = i + 2j - 3 k dan v = 2i - mj - 6 k. Jika panjang proyeksi u pada v sama dengan 1/2 panjang v, maka salah satu proyeksi vektor u pada v adalah....
A. 20/49 i - 120/49 k
B. 20/49 i + 120/49 k
C. 20/7 i - 120/49 k
D. 20/49 i - 120/7 k
E. 20/7 i - 120/7 k

Jawaban : A

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu |v|
|v| = √(22 + (- 3)2 + (- 6)2) = √4 + 9 + 36 = √49 = 7
u . v / |v| = 1/2 |v|
2 . u . v = |v|2
2 (1 . 2 - 2 . m + (- 3 . - 6) = (√22 + (-m)2 + (-6)2)2
2 (2 - 2m + 18) = 4 + m2 + 36
4 - 4m + 36 = 40 + m2
m2 + 4m + 40 - 40 = 0
m2 + 4m = 0
m = 0 atau m = - 4
Jika m = 0 maka v = 2i - 6k
Jika m = - 4 maka v = 2i - 4j - 6k

Untuk v = 2i - 6k, maka proyeksi vektor u pada v 
= (u . v) v / |v|2 
= (1 . 2 + 2 . 0 + (- 3 . - 6)) (2i - 6k) / 49
= 20 (2i - 6k) / 49 
= 20i - 120k / 49 
= 20/49 i - 120/49 k

Untuk v = 2i - 4j - 6k, proyeksi vektor u pada v 
=  (u . v) v / |v|2 
= (1 . 2 + 2 . -4 + (- 3 . - 6)) (2i - 4j - 6k) / 49
= 12 (2i - 4j - 6k) / 49 
= 24i - 48 j - 72k / 49 
= 24/49 i - 48/49 j - 72/49 k


7.) Diketahui vektor-vektor sebagai berikut:
Contoh soal proyeksi skalar berbentuk matriks

Proyeksi skalar a pada (b + c) adalah....
A. 2/5
B. 3/5
C. 4/5
D. 7/5
E. 9/5

Jawaban : A

Pembahasan
Hitung terlebih dahulu b + c
Menjumlahkan dua vektor dengan matriks
Menghitung |b + c|
|b + c| = √(-4)2 + (3)2 + 02 = √16 + 9 = 5

Menghitung a . (b + c)
a . (b + c) = (1 . -4) + (2 . 3) + 3 . 0 = 2

Maka proyeksi skalar a pada (b + c) 
= a . (b + c) / |b + c| 
= 2/5


8.) Diketahui A(1, 2, 3), B(2, 3, 4) dan C(3, 4, 5). Jika AC mewakili a dan AB mewakili b maka nilai dari |a|, |b| dan a . b berturut-turut adalah...
A. √3, 2√3, 6
B. √3, √3, 6
C. √3. √3, √3
D. √3, √3, √6
E. √6, √6, √6

Jawaban : A

Pembahasan
a = AC = C - A = (3, 4, 5) - (1, 2, 3) = (2, 2, 2)
b = AB = B - A = (2, 3, 4) - (1, 2, 3) = (1, 1, 1)

Sehingga
|a| = √(1)2 + (1)2 + (1)2 = √3
|b| = √(2)2 + (2)2 + (2)2 = √12 = 2√3
a . b = (1, 1, 1) . (2, 2, 2) = 2 + 2 + 2 = 6



Daftar Pustaka :
  • Judul : Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor | Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal | Pembahasan contoh soal proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain
  • Penulis : Zero Maker | - | Gurubaru
  • Tanggal tayang : Rabu, 12 September 2018 | 18 November 2017 | -
  • Tanggal akses : Selasa, 16 Maret 2021
  • URL : https://smatika.blogspot.com/2018/09/proyeksi-skalar-dan-proyeksi-vektor.html#:~:text=Proyeksi%20ortogonal%20vektor%20OA%20pada,OA%20pada%20OB%20adalah%20OP. | https://idschool.net/sma/proyeksi-skalar-dan-proyeksi-vektor-orthogonal/ | http://barugurukita.blogspot.com/2016/08/pembahasan-contoh-soal-proyeksi.html

Komentar

Posting Komentar

Postingan Populer