PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan juga bisa dioperasikan pada logaritma. Pada petidaksamaan logaritma, berlaku beberapa teorema yaitu:

Saat a > 1

• Jika , maka 
• Jika , maka 

Saat 0 < a < 1

• Jika , maka 
• Jika , maka 

Sebagai contoh, menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan:

Berubah bentuk menjadi:

Dari pertidaksamaan tersebut diketahui bahwa a = 2, berarti a > 1. Berlaku syarat: Jika , maka . Sehingga:

Garis bilangannya adalah:

Sama halnya dengan persamaan logaritma, pertidaksamaan logaritma sering kali dilakukan permisalan . Permisalan ini untuk menyederhanakan dan mempermudah penyelesaiaan pertidaksamaan. Sebagai contoh penyelesaian dari:

Diubah menjadi:

Dimisalkan y = log x, maka pertidaksamaan menjadi:

Akar-akarnya adalah :

 dan 

Maka nilai x adalah:

Berlaku syarat x > 0, dan x ≠ 1, maka garis bilangannya adalah:

Penyelesaiannya adalah:

 atau 

SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

1. ap . aq = ap + q

2. ap . aq = ap – q

3. (ap)q = apq

4. (a.b)p = ap . bp

5. a0 = 1

6. a – p = 1/ap

7. am/n = n√(am)

8.  ^alog 1 = 0

9.  ^alog a = 1

10.  ^alog b + ^alog c = ^alog (bc)

11.  ^alog b − ^alog c = ^alog $\left(\frac{b}{c}\right)$
12.  ^alog b^m = m . ^alog b
13.  ${}^{a^n}$log b^m = $\frac{m}{n}$ . ^alog b
14.  ^alog b . ^blog c = ^alog c
15.  a${}^{{}^{a}logb}$ = b
16.  ^alog b = $\frac{1}{{}^{b}loga}$
17. ^alog b = $\frac{{}^{p}logb}{{}^{p}loga}$

Rumus-Rumus Pertidaksamaan Logaritma

A. Untuk a < 0 < 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

  1. Jika alog f(x) < alog g(x) → f(x) > g(x)

  2. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) → f(x) ≥ g(x)

  3. Jika alog f(x) > alog g(x) → f(x) < g(x)

  4. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) → f(x) ≤ g(x)

B. Untuk a > 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.

  1. Jika alog f(x) < alog g(x) → f(x) < g(x)

  2. Jika alog f(x) ≤ alog g(x) → f(x) ≤ g(x)

  3. Jika alog f(x) > alog g(x) → f(x) > g(x)

  4. Jika alog f(x) ≥ alog g(x) → f(x) ≥ g(x)

SOAL PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

1.) Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{2}}log(x^2-8)<0$ adalah...
A.  {x/ −2 < x < 2}
B.  {x/ −2√2 < x < 2√2}
C.  {x/ x < −3 atau x > 3}
D.  {x/ x < −2√2 atau x > 2√2}
E.  {x/ −3 < x < 2√2 atau 2√2 < x < 2}

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0

Syarat logaritma :
x² − 8 > 0
(x + √8)(x − √8) = 0
x = −√8 atau x = √8
x = −2√2 atau x = 2√2
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2√2 atau x > 2√2  .................... (1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < 0
${}^{\frac{1}{2}}$log(x² − 8) < ${}^{\frac{1}{2}}$log 1
x² − 8 > 1
x² − 9 > 0
(x + 3)(x − 3) = 0
x = −3 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −3 atau x > 3  ..............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
x < −3 atau x > 3

Jawaban : C

2.) Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan $2logx\le log(2x+5)+2log2$ adalah...
A.  $-\frac{5}{2}$ < x ≤ 10
B.  −2 ≤ x ≤ 10
C.  0 < x ≤ 10
D.  −2 < x < 0
E.  $-\frac{5}{2}$ ≤ x < 10

Pembahasan :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2

Syarat logaritma :
* x > 0
* 2x + 5 > 0 → x > $-\frac{5}{2}$
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
2 log x ≤ log(2x + 5) + 2 log 2
log x² ≤ log(2x + 5) + log 2²
log x² ≤ log(2x + 5) 4
x² ≤ 8x + 20
x² − 8x − 20 ≤ 0
(x + 2)(x − 10) = 0
x = −2 atau x = 10
Pertidaksamaan bertanda "≤" maka
−2 ≤ x ≤ 10  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x ≤ 10

Jawaban : C

3.) Penyelesaian pertidaksamaan $log(x-4)+log(x+8)<log(2x+16)$ adalah...
A.  x > 6
B.  x > 8
C.  4 < x < 6
D.  −8 < x < 6
E.  6 < x < 8

Pembahasan :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)

Syarat logaritma :
* x − 4 > 0 → x > 4
* x + 8 > 0 → x > −8
* 2x + 16 > 0 → x > −8
Irisan dari syarat diatas :
x > 4  .............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
log(x − 4) + log(x + 8) < log(2x + 16)
log(x − 4)(x + 8) < log(2x + 16)
(x − 4)(x + 8) < 2x + 16
x² + 4x − 32 < 2x + 16
x² + 2x − 48 < 0
(x + 8)(x − 6) = 0
x = −8 atau x = 6
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−8 < x < 6  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
4 < x < 6

Jawaban : C

4.) Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{2}logx+{}^{2}log(x-1)<1$ adalah...
A.  −1 < x < 2
B.  0 < x < 1
C.  1 < x < 2
D.  1 ≤ x < 2
E.  0 < x < 2

Pembahasan :
²log x + ²log(x − 1) < 1

Syarat logaritma :
* x > 0
* x − 1 > 0 → x > 1
Irisan dari syarat diatas :
x > 1  ..............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
²log x + ²log(x − 1) < 1
²log x(x − 1) < ²log 2
x(x − 1) < 2
x² − x − 2 < 0
(x + 1)(x − 2) = 0
x = −1 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 2  .......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
1 < x < 2

Jawaban : C

5.) Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{2}logx.{}^{x+1}log4<2-{}^{x+1}log4$ adalah...
A.  x > $\frac{1}{3}$
B.  x > 1
C.  0 < x < 1
D.  0 < x < $\frac{1}{3}$
E.  $\frac{1}{3}$ < x < 1

Pembahasan :
²log x . ^x+1log 4 < 2 − ^x+1log 4

Syarat logaritma :
* x > 0
* x + 1 > 0 → x > −1
* x + 1 ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
x > 0  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
²log x . ^x+1log 4 < 2 − ^x+1log 4
²log x . ^x+1log 4 + ^x+1log 4 < 2
^x+1log 4 (²log x + 1) < 2
^x+1log 2² (²log x + ²log 2) < 2
2 . ^x+1log 2 . ²log 2x < 2
2 . ^x+1log 2x < 2
 ^x+1log 2x < 1
 ^x+1log 2x < ^x+1log (x + 1)
Berdasarkan syarat logaritma (1), maka nilai basis (x + 1) akan bernilai > 1, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
2x < x + 1
x < 1  ..............................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
0 < x < 1

Jawaban : C

6.) Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{3}logx.{}^{1-2x}log9<2-{}^{1-2x}log9$ adalah...
A.  0 < x < $\frac{1}{5}$
B.  0 < x < $\frac{2}{5}$
C.  0 < x < $\frac{1}{2}$
D.  $\frac{1}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$
E.  $\frac{2}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$

Pembahasan :
³log x . ^1-2xlog 9 < 2 − ^1-2xlog 9

Syarat logaritma :
* x > 0
* 1 − 2x > 0 → x < $\frac{1}{2}$
* 1 − 2x ≠ 1 → x ≠ 0
Irisan dari syarat diatas :
0 < x < $\frac{1}{2}$  ..........................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
³log x . ^1-2xlog 9 < 2 − ^1-2xlog 9

³log x . ^1-2xlog 9 + ^1-2xlog 9 < 2

^1-2xlog 9 (³log x + 1) < 2

^1-2xlog 3² (³log x + ³log 3) < 2

2 . ^1-2xlog 3 . ³log 3x < 2
2 . ^1-2xlog 3x < 2
^1-2xlog 3x < 1
^1-2xlog 3x < ^1-2xlog (1 − 2x)
Berdasarkan syarat  logaritma (1), maka nilai basis (1 − 2x) akan berada pada interval 0 − 1, sehingga tanda pertidaksamaan dibalik.
3x > 1 − 2x
5x > 1
x > $\frac{1}{5}$  .................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
$\frac{1}{5}$ < x < $\frac{1}{2}$

Jawaban : D

7.) Penyelesaian pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{4}}log(x^2+3x+2)>{}^{\frac{1}{4}}log(5x+5)$ adalah...
A.  −2 < x < −1 atau x > 3
B.  x < −2 atau x > 3
C.  x < −3 atau x > 2
D.  −2 < x < 3
E.  −1 < x < 3

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)

Syarat logaritma :
* x² + 3x + 2 > 0
(x + 2)(x + 1) = 0
x = −2 atau x = −1
Pertidaksamaan bertanda ">" maka
x < −2 atau x > −1
* 5x + 5 > 0 → x > −1
Irisan dari syarat diatas :
x > −1  ............................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma :
${}^{\frac{1}{4}}$log(x² + 3x + 2) > ${}^{\frac{1}{4}}$log(5x + 5)
x² + 3x + 2 < 5x + 5
x² − 2x − 3 < 0
(x + 1)(x − 3) = 0
x = −1 atau x = 3
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−1 < x < 3  ......................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
−1 < x < 3

Jawaban : E

8.) Nilai x yang memenuhi ${}^{\frac{1}{3}}log(x+\sqrt{3})+{}^{\frac{1}{3}}log(x-\sqrt{3})>0$ ...
A.  x < −√3 atau 0 < x < 2
B.  −2 < x < −√3 atau √3 < x < 2
C.  √3 < x < 2
D.  −2 < x < 2
E.  −√3 < x < 2

Pembahasan :
${}^{\frac{1}{3}}$log(x + √3) + ${}^{\frac{1}{3}}$log(x − √3)  > 0

Syarat logaritma :
* x + √3 > 0 → x > −√3
* x − √3 > 0 → x > √3
Irisan dari syarat diatas :
x > √3  .........................................(1)

Penyelesaian pertidaksamaan logaritma ;
${}^{\frac{1}{3}}$log(x + √3) + ${}^{\frac{1}{3}}$log(x − √3)  > 0
${}^{\frac{1}{3}}$log(x + √3)(x − √3)  > ${}^{\frac{1}{3}}$log 1
(x + √3)(x − √3) < 1
x² − 3 < 1
x² − 4 < 0
(x + 2)(x − 2) = 0
x = −2 atau x = 2
Pertidaksamaan bertanda "<" maka
−2 < x < 2  .....................................(2)

Irisan dari (1) dan (2) :
√3 < x < 2

Jawaban : C

9.) Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan  >  adalah …

A. x < -14

B. x < -15

C. x < -16

D. x < -17

E. x < -18

Pembahasan :

 > 

   > 

   > 

23(18x – 36) > 643(3x).82x

23(18x – 36) > 26(9x).23(2x)

23(18x – 36) > 26(9x) + 3(2x)

3(18x – 36) > 6(9x) + 3(2x)

3(18x – 36) > 3[2(9x) + (2x)]

(18x – 36) > 2(9x) + (2x)

2(9x – 18) > 2[9x + x]

9x – 18 > 9x + x

-x > 18 atau x < -18

Jawaban : E

10.) Nilai x yang memenuhi  > 9x-1 adalah …

A. 1 < x < 2

B. 2 < x < 3

C. -3 < x < 2

D. -2 < x < 3

E. -1 < x < 2

Pembahasan :

 > 9x-1

x2 – 3x + 4 > 2(x – 1)

x2 – 3x + 4 > 2x – 2

x2 – 5x + 6 > 0

(x – 3)(x – 2) = 0

x = 3 atau x = 2

dengan menggunakan garis bilangan, maka x yang memenuhi adalah x < 2 atau x < 3.

JAWABAN : B

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 26

Data Artikel : 

• judul : pembahasan soal UN logaritma, pertidaksamaan logaritma, persmaan & pertidaksamaan logaritma, soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan logaritma, pembahasan soal logaritma dan eksponen SMA 
• peulis : zero maker, - , studiobelajar, - , aim
• tanggal tayang : 7 Februari 2017, 21 Juni 2010, - , 6 Agustus 2019, 6 Juli 2012
• tanggal akses : 17 November 2010, pukul 05.36
• URL : https://smatika.blogspot.com/2017/02/pembahasan-soal-ujian-nasional-logaritma.html, https://putrimarwa.wordpress.com/2010/06/21/pertidaksamaan-logaritma/, https://www.studiobelajar.com/persamaan-dan-pertidaksamaan-logaritma/, https://www.maretong.com/2019/08/sifat-persamaan-dan-pertidaksamaan-logaritma.html, https://aimprof08.wordpress.com/2012/07/06/pembahasan-soal-logaritma-dan-eksponen-un-sma/