Pembahasan PAT Matematika Peminatan Kelas X Semester 2

Nama : Mustika Aura Nabila

Kelas : X MIPA 2

No. Absen : 27 

Pembahasan :

diketahui :

a = i - 8 j + 5 k, b = 3 i + 8 j + 2 k, c = - 2 i - 4 j + 3 k

ditanya :

a + 2b - 3c = .....?

jawab :

i - 8 j + 5 k + 2(3 i + 8 j + 2 k) - 3(- 2 i - 4 j + 3 k)

i - 8 j + 5 k + 6 i + 16 j + 4 k + 6 i + 12 j - 9 k

13 i + 20 j

jadi, a + 2b - 3c adalah 13 i + 20 j

Pembahasan :

diketahui :

a = (7, -4, p), b = (1, 8, -5), c = (1, -2, -3)

vektor b tegak lurus vektor a

ditanya :

a - b - c = ....?

jawab :

vektor b tegak lurus vektor a ➝ b.a = 0

(1, 8, -5) . (7, -4, p) = 0

1(7) + 8(-4) + -5(p) = 0

7 + (-32) + (-5p) = 0

-25 + (-5p) = 0

-5p = 25

p = -5

a - b - c = ...

(7, -4, -5) - (1, 8, -5) - (1, -2, -3)

(7 - 1 - 1),(-4 - 8 + 2),(-5 + 5 + 3)

(5, -10, 3)

jadi a - b - c adalah (5, -10, 3)

Pembahasan :

diketahui : 

Xp = 11, Yp = 9

Xq = -4, Yq = 1

PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q

ditanya : 

panjang vektor PQ = ....?

jawab :

PQ = (Xq - Xp, Yq - Yp) 

PQ = (-4 - 11, 1 - 9) 

PQ = (-15, -8)

panjang vektor PQ = |PQ|

|PQ| = √(-15)²+(-8)²

|PQ| = √225+64

|PQ| = √289

|PQ| = 17

jadi panjang vektor PQ adalah 17

Pembahasan :

diketahui :

A = (1, -5, -9), B = (7, -14, 6), C = (15, -26, 20)

A, B, C segaris (kolinear)

ditanya :

AB : BC = ....?

jawab :

rumus : AB = kBC

B - A = k(C - B)

(7, -14, 6) - (1, -5, -9) = k[(15, -26, 20) - (7, -14, 6)]

(7-1, -14+5, 6+9) = k(15-7, -26+14, 20-6)

(6, -9, 15) = k(8, -12, 14)

6 = 8k

k = 6/8 = 3/4

jadi perbandingan AB : BC adalah 3 : 4

Pembahasan :

diketahui :

A = (-3, 5, 2), B = (2, -1, 8), C = (3, -4, 6)

AB = u, BC = v

ditanya :

u . v = ...?

jawab : 

AB = B - A = u

(2, -1, 8) - (-3, 5, 2) = (2+3, -1-5, 8-2) = (5, -6, 6)

BC = C - B = v

(3, -4, 6) - (2, -1, 8) = (3-2, -4+1, 6-8) = (1, -3, -2)

u . v = ...

(5, -6, 6) . (1, -3, -3) = 5(1), -6(-3), 6(-3) = (5, 18, -12)

atau

5 + 18 - 12 = 11

jadi u . v adalah (5, 18, -12) atau 11

Pembahasan : 

diketahui :

P = (-8, -11, -15), Q = (-11, 20, 10), R = (12, 22, -20)

PQ = a, QR + PR = b

ditanya :

a . b = ....?

jawab :

PQ = Q - P = a

(-11, 20, 10) - (-8, -11, -15) = (-11+8, 20+11, 10+15) = (-3, 31, 25)

QR + PR = (R - Q) + (R - P) = b

(12, 22, -20) - (-11, 20, 10) + (12, 22, -20) - (-8, -11, -15) 

(12+11, 22-20, -20-10) + (12+8, 22-11, -20+15) 

(23, 2, -30) + (20, 11, -5) = (23+20, 2+11, -30-5) = (43, 13, -35)

a . b = ...

(-3, 31, 25) . (43, 13, -35) = -3(43), 31(13), 25(-35) = (-129, 403, -875) 

atau 

-129 + 403 - 875 = -605

jadi a . b adalah (-129, 403, -875) atau -605

Pembahasan : 

diektahui :

P = (-1, 10), Q = (5, 3), R = (3, 15)

PR = a, PQ = b, QR = c

c = ma + nb

ditanya :

m + n = ...?

jawab :

c = ma + nb

QR = m(PR) + n(PQ)

R - Q = m(R - P) + n(Q - P)

(3, 15) - (5, 3) = m[(3, 15) - (-1, 10)] + n[(5, 3) - (-1, 10)]

(3-5, 15-3) = m(3+1, 15-10) + n(5+1, 3-10)

(-2, 12) = m(4, 5) + n(6, -7)

(-2, 12) = (4m, 5m) + (6n, -7n)

4m + 6n = -2 .... (1)

5m - 7n = 12 ... (2)

eliminasi

4m + 6n = -2 |x5|

5m - 7n = 12 |x4|

20m + 30n = -10

20m - 28n = 48    -

58n = -58

n = -58/58 = -1

subtitusikan n = -1 ke persamaan (1)

4m + 6n = -2

4m + 6(-1) = -2

4m - 6 = -2

4m = -2 + 6

4m = 4

m = 4/4 = 1

m + n = 1 + (-1) = 0

jadi m + n adalah 0

Pembahasan : 

diketahui :

u = 5i - 6j + 2k, v = i + pj - 4k, w = -3i + 4j - 5k

u tegak lurus dengan v

ditanya :

nilai p = ...?

jawab :

u tegak lurus v ➝ u . v = 0

(5 - 6 + 2) . (1 + p - 4) = 0

5(1), -6(p), 2(-4) = 0

5, -6p, -8 = 0

-3 = 6p

p = -3/6 = -1/2

jadi nilai p adalah -1/2

Pembahasan : 

diketahui :

a = 5i + 6j - 2k, b = 3i - 4j - 13k, c = a - b

ditanya :

vektor satuan yang searah dengan c = ....?

jawab :

c = a - b = (5i + 6j - 2k) - (3i - 4j - 13k) = 5i-3i, 6j+4j, -2k+13k = 2i, 10j, 11k 

|C| = √2²+10²+11² = √4+100+121 = √225 = 15

c = (2, 10, 11) / 15 atau c = 2/15i + 10/15j + 11/15k

jadi vektor satuan yang searah dengan c adalah 2/15i + 10/15j + 11/15k

Pembahasan : 

diketahui :

P = (-3, -6, 9), Q = (6, 0, 12), R = (3, -9, 18)

a = PQ, b = QR

ditanya : 

besar sudut antara a dan b = ...?

jawab : 

a = PQ = Q - P = (6, 0, 12) - (-3, -6, 9) = (6+3, 0+6, 12-9) = (9, 6, 3)

b = QR = R - Q = (3, -9, 18) - (6, 0, 12) = (3-6, -9-0, 18-12) = (-3, -9, 6)

a . b = (9, 6, 3) . (-3, -9, 6) = 9(-3), 6(-9), 3(6) = (-27, -54, 18) atau -27 - 54 + 18 = -63

|a| = √9²+6²+3² = √81+36+9 = √126 = 3√14

|b| = √(-3)²+(-9)²+6² = √9+81+36 = √126 = 3√14

cos α = (a.b)/(|a||b|) = -63/(3√14.3√14) = -63/3.14.3 = -7/14 = -1/2

α = -1/2 maka cos α 120⁰ atau 240⁰

jadi besar sudut antara a dan b adalah 120⁰ atau 240⁰

Pembahasan :

diketahui :

u = 3i - 3j, v = 2i - 4j - 2k, w = i + j + 2k

AB = u, BC = v, CA = w

ditanya :

besar sudut ACB = ...?

jawab :

cari nilai vektor CA dan CB

CA = w = i + j + 2k = 1 + 1 + 2

CB = BC = v = 2i - 4j - 2k = 2 - 4 - 2

CA . CB = (i + j + 2k) . (2i - 4j - 2k) = 1(2) + 1(-4) + 2(-2) = 2 - 4 - 4 = -6

|CA| = √1²+1²+2² =√1+1+4 = √6

|CB| = √2² +(-4)²+(-2)² = √4+16+4 = √24 = 2√6

cos α = (CA .CB)/(|CA||CB|) = -6/(√6 . 2√6) = -6/(2 . 6) = -6/12 = -1/2

α = -1/2 maka cos α 120⁰ atau 240⁰

jadi besar sudut antara ACB adalah 120⁰ atau 240⁰

Pembahasan : 

diketahui :

g melalui : A = (3, -9, -5), B = (5, -8, -8)

h melalui : C = (11, -12, -2), D = (10, -9, -4)

ditanya :

besar sudut g dan h = ...?

jawab :

g = AB = B - A = (5, -8, -8) - (3, -9, -5) = (5-3, -8+9, -8+5) = (2, 1, -3)

h = CD = D - C = (10, -9, -4) - (11, -12, -2) = (10-11, -9+12, -4+2) = (1, 3, -2)

g . h = (2, 1, -3) . (1, 3, -2) = 2(1) + 1(3) + -3(-2) = 2 + 3 + 6 = 11

|g| = √2²+1²+(-3)² = √4+1+9 = √14

|h| = √1²+3²+(-2)² = √1+9+4 = √14

cos α = (g .h)/(|g||h|) = 11/(√14 . √14) = 11/14 = 0,785 

α = 0,785 maka cos α  38⁰ atau ±360⁰

jadi besar sudut g dan h adalah 38⁰ atau 322⁰

Pembahasan :

diketahui :

|a| = √7, |b| = 2√3, |a - b| = 3√3

ditanya :

panjang vektor a + b = ...?

jawab :

|a - b|² = a² - 2abcosθ + b²

(3√3)² = (√7)² - 2ab + (2√3)²

27 = 7 - 2ab + 12

2ab = 7 + 12 - 27

2ab = 19 - 27

2ab = -8

ab = -8/2 = -4

|a + b|² = a² + 2ab² + b²

|a + b|² = (√7)² + 2(-4) + (2√3)²

|a + b|² = 7 - 8 + 12

|a + b|² = 11

|a + b| = √11 

jadi panjang vektor a + b adalah √11

Pembahasan : 

diketahui :

A = (8, -11, 3), vektor AB = (7, 4, -9)

ditanya :

koordinat B = ....?

jawab :

AB = B - A

(7, 4, -9) = B - (8, -11, 3)

B = (7, 4, -9) + (8, -11, 3)

B = (15, -7, -6)

jadi koordinat B adalah (15, -7, -6)

Pembahasan : 

diketahui :

u = 5i + 3j - 3k, v = 9i + 3j - 3k, w = 13i + 7j - 3k

a = v - u, b = w - v

a dan b diapit sudut θ

ditanya :

tan θ = ...?

jawab :

a = v - u = (9 + 3 - 3) - (5 + 3 - 3) = (9-5, 3-3, -3+3)

a = (4, 0, 0)

b = w - v = (13 + 7 - 3) - (9 + 3 - 3) = (13-9, 7-3, -3+3)

b = (4, 4, 0)

a . b = (4, 0, 0) . (4, 4, 0) = 4(4) + 0(4) + 0(0) = 16

|a| = √4²+0²+0² = √16 = 4

|b| = √4²+4²+0² = √32 = 4√2

cos θ = (a.b)/(|a||b|) = 16/(4 . 4√2) = 16/16√2 = 1/√2 = 1/2√2

cos θ = 1/2√2 = 45°

tan θ = tan 45° = 1

jadi nilai tan θ adalah 1

Pembahasan : 

diketahui :

u = (-1, 4, 6), v = (-5, 3, p)

proyeksi skalar orthogonal u pada arah v = 1/2 v

ditanya :

nilai p = ....?

jawab :

u . v = (-1, 4, 6) . (-5, 3, p) = -1(-5) + 4(3) + 6(p) = 5 + 12 + 6p = 17 + 6p

|v| = √(-5)²+3²+p² = √25+9+p² = √34+p²

(u . v)/|v| = 1/2 . |v|

(17 + 6p)/(√34+p²) = 1/2 . √34+p²

(17 + 6p)/(√34+p²) = (√34+p²)/2

2(17 + 6p) = √34+p² . √34+p²

2(17 + 6p) = 34 + p²

2(17 + 6p) - 34 - p² = 0

34 + 12p - 34 - p² = 0

12p -  p² = 0

p(12 - p) = 0

p = 0 atau 12 - p = 0 ➝ p =12

jadi nilai p adalah p = 0 atau p = 12

Pembahasan : 

diketahui :

a = -4i + j + 2k, b = 4i - 5j + 3k

ditanya :

proyeksi orthogonal a pada b = ....?

jawab :

ab = (a . b)/(|b|)² . b

ab = (-4.4 + 1.-5 + 2.3)/(√4² + (-5)² + 3²)² . b

ab = (-16 - 5 + 6)/(√16 + 25 + 9)² . b

ab = -15/50 . b

ab = -3/10 (4i - 5j + 3k)

ab = -6/5i + 3/2j + 9/10k

ab = (-6/5, 3/2, 9/10)

jadi proyeksi orthogonal a pada b adalah (-6/5, 3/2, 9/10)

Pembahasan :

diketahui :

posisi titik pada waktu t = (t, t², -2t)

t = 2 detik titik berada di P, t = 6 detik titik berada di Q

ditanya :

jarak titik P dengan titik Q = ...?

jawab :

t = 2 detik titik berada di P

maka vektor P = (2, 2², -2(2)) = (2, 4, -4)

t = 6 detik titik berada di Q 

maka vektor Q = (6, 6², -2(6)) = (6, 36, -12)

jarak P dengan Q adalah |PQ|

|PQ| = √(6-2)² + (36-4)² + (-12-(-4)²

|PQ| = √4²+32²+(-8)²

|PQ| = √16+1024+64

|PQ| = √1104

|PQ| = 4√69

jadi jarak titik P dengan titik Q adalah 4√69

Pembahasan :

diketahui :

p = 2i + j - 2k, q = -i - 2j + nk

panjang proyeksi p pada q = 2

ditanya :

nilai n = ...?

jawab :

p . q = (2 + 1 - 2) . (-1 - 2 + n) = 2(-1) + 1(-2) + (-2)(n) = -2 - 2 - 2n = -4 - 2n

|q| = √(-1)² + (-2)² + n²)) = √(1 + 4 + n²) = √(5 + n²)

panjang proyeksi p pada q = 2

|p| = (p. q)/(|q|)

2 = (-4 - 2n)/√(5 + n²)

2(√(5 + n²)) = -4 - 2n

bagi kedua ruas dengan 2

√(5 + n²) = -2 - n

5 + n² = (-(2 - n))²

5 + n² = (2 + n)²

5 + n² = 4 + 4n + n²

5 = 4 + 4n

-4n = 4 - 5

-4n = -1

n =-1/-4 = 1/4

jadi nilai n adalah 1/4

Pembahasan : 

diketahui :

P = (2, -3, 2), Q = (-1, 0, 2), R = (0, 1, 4)

ditanya :

POQ adalah segitiga = ...?

jawab :

sudut antara PQ dengan PR

PQ = Q - R = (-1, 0, 2) - (2, -3, 2) = (-1-2, 0+3, 2-2) =  (-3, 3, 0)

PR = R - P = (0, 1, 4) - (2, -3, 2) = (0-2, 1+3, 4-2) = (-2, 4, 2)

Pembahasan : 

diketahui :

a = (t - 3) i - 6j + hk, b = (2t + 6) i - 6j - 3k

a = -b

ditanya :

vektor a = ...?

jawab :

a = -b maka (t - 3)i - 6j +hk = - (2t + 6) i - 6j - 3k

t - 3 = - (2t + 6)

t - 3 = -2t - 6

t + 2t = -3

3t = -3

t = -1

h = -3

a = - i - 6j - 3k

jadi vektor a adalah - i - 6j - 3k

diketahui :

A (3, 5, 6), B (-2, 7, -9), C (4, -5, -8)

a = AB, b = CA, c = b - a

ditanya :

vektor c = ...?

jawab :

a = AB = B - A = (-2, 7, -9) - (3, 5, 6) = (-2 - 3, 7 - 5, -9 - 6) = (-5, 2, -15)

b = CA = A - C = (3, 5, 6) - (4, -5, -8) = (3 - 4, 5 + 5, 6 + 8) = (-1, 10, 14)

c = b - a = (-1, 10, 14) - (-5, 2, -15) = (-1 + 5, 10 - 2, 14 + 15) = (4, 8, 29)

jadi vektor c adalah (4, 8, 29)

diketahui :

a = i + √5j + pk, b = i - √5j + pk

sudut antara vektor a dan b = 30⁰

ditanya :

nilai p = ...?

jawab :

a . b = |a| . |b| . cos 30⁰

(1 + √5 + p) . (1 - √5 + p) = √(1² + √5² + p²) . (1² + (-√5)² + p²) . 1/2√3

(1 - 5 + p²) = √(1 + 5 + p²) . (1 + 5 + p²) . 1/2√3

-4 + p² = 1 + 5 + p² . 1/2√3

-4 + p² = 6 + p² . 1/2√3

-4 + p² /6 + p² = √3/2

2(-4 + p²) = √3(6 + p²)

-8 + 2p² = 6√3 + √3 p² 

2p² - √3 p² = 8 + 6√3

p² = 6√3 + √3 / 2 - √3 

p² = (6√3 + √3) . (2 + √3)

p² = 12√3 + 18 + 16 + 8√3

p² = 20√3 + 34

p = ±√(20√3 + 34)

p = √(20√3 + 34) atau -√(20√3 + 34)

jadi nilai p adalah √(20√3 + 34) atau -√(20√3 + 34)

diketahui :

A (3, -2, 7), B (-5, p, -5), C (1, 6, 4)

A, B, C segaris

ditanya :

nilai p = ...?

jawab :

AB = B - A = (-5, p, -5) - (3, -2, 7) = (-5-3, p+2, -5-7) = (-8, p + 2, -12)

AC = C - A = (1, 6, 4) - (3, -2, 7) = (1-3, 6+2, 4-7) = (-2, 8, -3)

A, B, C akan segaris jika vektor AB = nAC

(-8, p + 2, -12) = n(-2, 8, -3)

diperoleh -8 = -2n ➝ n = -8/-2 ➝ n = 4

nilai p + 2 = 4(8) ➝ p = 32 - 2 ➝ p = 30

jadi nilai p adalah 30

diketahui :

A (9, 5, 7), B (2, 5, 7), C (9, 0, 5)

P pembagi AB sehingga AP : PB = 4 : 3

ditanya :

vektor yang diwakili PC = ....?

jawab :

AP : PB = 4 : 3

P = (4.a+3.b)/4+3 = 4(9, 5, 7) + 3(2, 5, 7)/7 = (36, 20, 28)+(6, 15, 21)/7 = (36+6, 20+15, 28+21)/7 = (42, 35, 49)/7

P = (6, 5, 7) 

vektor PC = C - P

(9, 0, 5) - (6, 5, 7) = (9-6, 0-5, 5-7) = (3, -5, -2) atau 3i - 5j - 2k

jadi vektor yang diwakili PC adalah 3i - 5j - 2k

diketahui :

a = 2i + 3j + k, b = 3i + 2j + 4k, c -i + j + 2k, d = 20i + 20j + 15k

d = pa + qb + rc

ditanya :

p + q + r = ...?

jawab :

pa + qb + rc = d ➝ p(2, 3, 1) + q(3, 2, 4) + r(-1, 1, 2) = (20, 20, 15) 

2p + 3q - r = 20 ...persamaan 1

3p + 2q + r = 20 ...persamaan 2

p + 4q + 2r = 15 ...persamaan 3

2p + 3q - r + 3p + 2q + r = 20 + 20 ➝ 5p + 5q = 40

2p + 3q - r = 20 |x2

p + 4q + 2r = 15 

4p + 6q - 2r = 40

p + 4q + 2r = 15     +

5p + 10q = 55

5p + 5q = 40    -

5q = 15 ⟶ q = 3

5p + 5q = 40 ⟶ 5p + 5(3) = 40 ⟶ 5p + 15 = 40 ⟶ 5p = 40 - 15 ⟶ 5p = 25 ⟶ p = 5

2p + 3q - r = 20 ⟶ 2(5) + 3(3) - r = 20 ⟶ 10 + 9 - r = 20 ⟶ 10 + 9 - 20 = r ⟶ r = -1

p + q + r = 5 + 3 + (-1) = 7

jadi p + q + r adalah 7

diketahui : 

P (2,3), R (8, 5)

P, Q, R segaris dan PQ = QR

ditanya :

titik Q = ...?

jawab :

PQ = QR ⟶ Q - P = R - Q ⟶ Q + Q = P + R ⟶ 2Q = P + R ⟶ Q = (P + R)/2

Q = (2, 3)+(8, 5)/2 ⟶ (2+8, 3+5)/2 ⟶ (10, 8)/2 ⟶ (5, 4)

jadi titik Q adalah (5, 4)

diketahui : 

u = i - 2j - 5k, v = -4i + mj - 4k, w = 4i - j + 2k

u dan v saling tegak lurus

ditanya :

(u - v) . (2w) = ...?

jawab :

saling tegak lurus

u.v = 0 ⟶ (1, -2, -5).(-4, m, -4) = 0 ⟶ (1.-4, -2.m, -5.-4) = 0 ⟶ -4 - 2m + 20 = 0 ⟶ 16 = 2m ⟶ m = 8

(u - v) . (2w) = ((1, -2, -5) - (-4, 8, -4)) . 2(4, -1, 2) = (1+4, -2-8, -5+4) . (8, -2, 4) = (5, -10, -1) . (8, -2, 4) = (40, 20, -4)

(u - v) . (2w) = 40i + 20j - 4k

jadi (u - v) . (2w) adalah 40i + 20j - 4k

diketahui :

a = 7i + 3j + 6k, b = -i + 11k - 8k, c = a - b

ditanya :

vektor satuan yang searah dengan c = ...?

jawab :

c = a - b = (7i + 3j + 6k) - (-i + 11k - 8k) = (8i - 8j + 14k)

|c| = √8² + (-8)² + 14² = √64 + 64 + 196 = √324 = 18

vektor yang searah dengan c

c = (8, -8, 14)/18 atau c = 8/18i - 8/18j + 14/18k ⟶ c = 4/9i - 4/9j + 7/9k

jadi vektor satuan yang searah dengan c adalah 4/9i - 4/9j + 7/9k

diketahui :

P(-5, 2, 15), Q (-1, 4, 17), R(2, 7, 17)

a = PQ, b = QR

ditanya :

besar sudut antara a dan b = ....?

jawab : 

a = PQ = Q - P = (-1, 4, 17) - (-5, 2, 15) = (-1+5, 4-2, 17-15) = (4, 2, 2)

b = QR = R - Q = (2, 7, 17) - (-1, 4, 17) = (2+1, 7-4, 17-17) = (3, 3, 0)

a.b = (4, 2, 2) . (3, 3, 0) = (4.3, 2.3, 2.0) = 12 + 6 + 0 = 18

|a| = √4² + 2² + 2² = √16 + 4 + 4 = √24 = 2√6 

|b| = √3² + 3² + 0² = √9 + 9 = √18 = 3√2

cos α = a.b/|a||b| = 18/(2√6.3√2) = 9/(√6.3√2) = 3/(√6.√2) = 3/√12 = 3/2√3 = √3/2 

cos α = √3/2 = 1/2√3 

cos 30⁰ = 1/2√3

jadi sudut antara a dan b adalah 30⁰ 

diketahui :

A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0), C(3, -2, 1)

ditanya :

besar sudut ABC = ....?

jawab :